Informações do curso

MTM410034 Equações Diferenciais Ordinárias
PRÉ-REQUISITO: x-x
Nº DE HORAS/AULA SEMANAIS: 06
EMENTA: Alguns métodos usuais de resolução de equações diferenciais
ordinárias de primeira ordem. Equações diferenciais ordinárias de ordem
superior. Sistemas lineares com coeficientes constantes. Cálculo da
exponencial de uma matriz usando o teorema da forma canônica de Jordan.
Retratos de fase de sistemas bidimensionais. Teorema de existência e
unicidade de soluções. Estabilidade de soluções de sistemas não lineares.
Teoremas de Liapunov para estabilidade.
OBJETIVOS GERAIS:
I . Propiciar ao aluno condições de:
1. Desenvolver sua capacidade de dedução e de raciocínio lógico e
organizado;
2. Desenvolver sua capacidade de formulação e interpretação de situações
matemáticas e seu espírito crítico e criativo;
3. Perceber e compreender o interrelacionamento das diversas áreas da
Matemática apresentadas ao longo do curso
4. Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
II - Incentivar o aluno ao uso da Biblioteca.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
1. Dominar com rigor e detalhes conceitos e resultados relativos aos métodos
de resolução de equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n.
2. Dominar conceitos e técnicas de resolução de sistemas lineares de
equações diferenciais ordinárias.
3. Saber calcular a exponencial de uma matriz usando a forma canônica de
Jordan.
4. Conhecer os retratos de fase de sistemas lineares bidimensionais.
5. Conhecer e aplicar teoremas de existência e unidade de resoluções de
equações diferenciais ordinárias.
6. Entender o conceito de estabilidade segundo Lyapunov e aplicar o Teorema
de Estabilidade a sistemas autonomos.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
I. TEORIA GERAL
1. Definição de uma equação diferencial ordinária de 1ª ordem, exemplos.
2. Problema de valor inicial.
3. Existência e unicidade de soluções - Discussão preliminar.
4. Sistemas de equações diferenciais ordinárias.
5. Equações diferenciais ordinárias de ordem n.
6. O método da variação dos parâmetros.
7. Equações diferenciais ordinárias exatas - Fator integrante.
II. SISTEMAS LINEARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
1. Definição de um sistema de EDO’s, exemplos, existência de solução.
2. Sistemas lineares homogêneos: Espaço - solução, Matriz fundamental,
Fórmula de Abel (Liouville), Wronskiano.
3. Sistemas lineares não-homogêneos - Variação dos parâmetros.
4. Sistemas lineares com coeficientes constantes: Exponencial de uma matriz,
Método dos autovalores e autovetores cálculo de exponencial de matrizes,
cálculo de exponencial de uma matriz usando a forma canônica de Jordan.
5. Retratos de fase de sistemas lineares bidimensionais.
III. TEORIA DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE
1. Teorema de existência e unicidade de soluções - Método de Picard.
2. Teorema de existência e unicidade para sistemas lineares.
3. Extensão de soluções.
IV. ESTABILIDADE DE SISTEMAS AUTÔNOMOS
1. Definição de estabilidade e estabilidade assintótica, exemplos.
2. Estabilidade para sistemas lineares e quase-lineares.
3. O Teorema de Lyapunov para estabilidade.
BIBLIOGRAFIA
1) BRAUER, F., Nohel, J.A; Ordinary Differential Equations: A First Course, W.
A. Benjamin, INC, New York, 1967.
2) BRAUER, F., Nohel, J.A; The Qualitative Theory of Ordinary Differencial
Equations, W., Benjamin, INC., 1969.
3) Braun, M, Equações Diferenciais e suas Aplicações, Ed. Campus, Rio de
Janeiro, 1979.
4) CODDINGTON, E. A., An Introduction to Ordinary Equations, Dover
publications. INC, New York, 1993.
5) De FIGUEIREDO, D. G. e NEVES, A. F., Equações Diferenciais Aplicadas,
Colóquio Brasileiro de Matemática, Universitária, 2002..
6) HIRSCH, M., SMALE, S., Differential Equations, Dynamical Systems, and
Linear Álgebra, Academic Press, INC. N. Y., 1974.
7) YOSIDA, K., Lectures on Differential and Integral Equations, Wiley Interscience, N. Y., 1960.
8) BELLMAN, R, & COOKIE, K. L., Modern Elementary Differential Equations:
Second Edition, Publications, INC, New York, 1994