MTM3110-01216 (20242) - Cálculo 1

Para entender a relação entre onde a função cresce ou decresce com a forma do seu gráfico, verifique a animação abaixo. Sinta-se à vontade para começar colocando os 2 pontos brancos onde desejar. Em seguida, deslize o controle deslizante.

A função está crescendo em todos os valores de entrada \( x\) nos quais seu gráfico é AZUL. A função está descrescendo em todos os valores de entrada \(x\) nos quais seu gráfico é VERMELHO. A função é CONSTANTE em todos os valores de entrada \(x\) nos quais seu gráfico é PRETO.

Agora, na animação abaixo você poderá ver a relação do sinal da derivada, que é a inclinação da reta tangente, com as regiões onde a função é crescende ou decrescente.

Logo se \(f'\) é positiva num intervalo \( (a,b) \), \( f\) é crescente neste intervalo. De forma análoga, podemos concluir que se \(f'<0\) num intervalo \( (a,b) \), então \(f\) é decrescente em \( (a,b) .\)

Exemplo 1.  Imagine-se no Memorial JK, em Brasília, olhando para cima em direção ao Monumento a JK.

Claramente, se você ficar muito distante, seu ângulo de visão \(\alpha\) será muito pequeno, mas também será pequeno se você ficar muito próximo, pois estará vendo JK muito obliquamente. Então, a que distância \(x\) você deve ficar para maximizar \(\alpha\)? Cálculo - eventualmente - fornece a resposta:

\(\displaystyle x=\sqrt{a(a+b)}.\)

De fato, note que o ângulo \(\alpha\) é dado por

\(\displaystyle \alpha=f(x)=\arctan\left(\frac{a+b}{x}\right)-\arctan\left(\frac{a}{x}\right). \)

Queremos achar o maior valor de \(f(x)\). Vimos que basta resolver \( f'(x)=0.\) Antes, é importante lembrar que se \(y=\arctan(x),\) então \(\tan(y)=x\). Logo, usando a regra da cadeia, tomando a derivada de \(\tan(y)=x\) com relação a \(x\), temos

\(\displaystyle \tan'(y)\cdot y'=1\Rightarrow y'\sec^2(y)=1\Rightarrow y'(\tan^2(y)+1)=1\)

\(\displaystyle \Rightarrow y'(x^2+1)=1\Rightarrow y'=\frac{d}{dx}(\arctan(x))=\frac{1}{x^2+1}.\)

Logo, usando a regra da cadeia,

\(\displaystyle f'(x)=\arctan'\left(\frac{a+b}{x}\right)\cdot\left(\frac{a+b}{x}\right)'-\arctan'\left(\frac{a}{x}\right)\cdot\left(\frac{a}{x}\right)'\)

\(\displaystyle \Rightarrow f'(x)=\left(\frac{x^2}{(a+b)^2+x^2}\right)\cdot\left(-\frac{a+b}{x^2}\right)-\left(\frac{x^2}{a^2+x^2}\right)\cdot\left(-\frac{a}{x^2}\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow f'(x)=-\frac{a+b}{(a+b)^2+x^2}+\frac{a}{a^2+x^2}.\)

Logo, \(f'(x)=0\) se

\(\displaystyle (a+b)(a^2+x^2)=a((a+b)^2+x^2)\Rightarrow a^2(a+b)+bx^2=a(a+b)^2\Rightarrow bx^2=b(a^2+ab)\)

\(\displaystyle x=\sqrt{a(a+b)}.\)

Se você está curioso para saber o melhor ângulo, basta usar o valor de \(a\) como sendo 28m menos a sua altura e o valor de \(b\) é igual a 4,5m.

Exemplo 2: Suponha que desejamos construir uma lata de metal de um volume fixo \(V.\) Por exemplo, talvez desejemos que \(V\) seja exatamente 350 ml ou 300 ml (apenas para escolher alguns exemplos que você encontra na prateleira do supermercado). Se as extremidades da lata tiverem raio \(r\) e, portanto, área \(\displaystyle\pi r^2,\) e a lata tiver altura \(h,\) então o volume é dado pela fórmula: \(\displaystyle V=\pi r^2 h.\)

Como \(\displaystyle V=\pi r^2 h,\) temos que a altura é \(\displaystyle h=\frac{V}{\pi r^2}.\)

Agora, suponha que desejamos que a área da superfície deste cilindro seja a menor possível, para que possamos usar o mínimo possível de metal. A área da superfície consiste em três partes: as peças circulares superior e inferior, cada uma das quais tem área \(\displaystyle \pi r^2,\) e o lado cilíndrico. A altura deste lado cilíndrico é apenas \(h,\) enquanto sua circunferência é a circunferência, \(2\pi r,\) das peças circulares. Portanto, a área total é

Veja a animação abaixo.