A primitiva
Suponha que sabemos que uma determinada função satisfaz
\(\displaystyle s'(t)=24t,\)
e temos que encontrar a função original, isto é, a função que relaciona \(s\) e \(t.\) Como podemos fazer isso? É claro que, no caso desta equação, sabemos que a função original é \(\displaystyle s(t) = 12 t^2\) mais alguma constante, mas, geralmente, dada uma função derivada, podemos não saber de antemão qual é a função original. Por exemplo, podemos saber que
\(\displaystyle s'(t)= 7t^2-3t\quad \text{ou}\quad \frac{df}{dt}=\frac{x^2}{2}-5t,\)
e nestes casos não está claro como encontrar as respectivas funções originais.
Antes de nos preocuparmos em examinar o problema de encontrar a função original, podemos questionar por que deveríamos considerar tal tarefa. A resposta é que quando formulamos matematicamente problemas físicos, a informação física dada geralmente leva a equações com derivadas, e o objetivo principal na resolução dos problemas físicos é encontrar as funções originais.
Exemplo 1. Nos problemas dados acima, é necessário saber como resolver um problema da forma
\(\displaystyle f'(x)=mx^{k}.\)
Lembre-se da regra da potência de derivadas
\( \displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}.\)
Logo, por exemplo, para encontrar uma função \(s(t)\) que satisfaz \(s'(t)=24t,\) sabendo que
\(\displaystyle (t^2)'=2t\quad (af(t))'=af'(t), \text{ } a \text{ constante,}\)
temos
\( \displaystyle (12t^2)'=12\cdot 2t=24t.\)
Agora, é importante notar que se duas funções possuem a mesma derivada num intervalo aberto, ou seja, a diferença entre estas duas funções possui derivada nula neste intervalo, então a diferença entre essas duas funções é constante. De fato, se uma função \(g(x)\) tem derivada nula num intervalo, \(\displaystyle g'(t)=0,\) então \(g\) deve ser constante, pois, caso contrário, existiriam dois pontos \(a<b\) tais que \(g(a)\neq g(b).\) Como \(g\) possui derivada no intervalo \( (a,b), \) o Teorema do Valor Médio diz que existe \(c\) entre \(a\) e \(b\) tal que
\(\displaystyle g'(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\neq 0,\)
mas isso é uma contradição com o fato que \(g\) possui derivada nula. Portanto, esses pontos \(a\) e \(b\) não podem existir e \(g\) tem que ser constante.
Logo, se \(s'(t)=24t,\) então \(\displaystyle s(t)=12t^2+C,\) \(C\) constante, \(s(0)=C.\)
Mais geralmente, se \(\displaystyle f'(x)=mx^k,\) então
\(\displaystyle f(x)=\frac{m}{k+1}x^{k+1}+C,\text{ se }k\neq -1.\)
No caso \(k=-1\), lembre que \(\displaystyle (\ln x)'=\frac{1}{x}.\)
Exemplo 2. Vamos considerar o exemplo de uma reação química, a chamada reação unimolecular. Suponhamos que uma substância esteja dissolvida em uma grande quantidade de solvente, digamos, uma quantidade de açúcar em água. Se ocorrer uma reação química, a lei química da ação das massas, neste caso, afirma que a taxa de reação é proporcional à quantidade de substância reagente presente.
Supomos que o açúcar está sendo transformada por ação catalítica em açúcar invertido e denotamos por \(u(x)\) a quantidade de cana-de-açúcar que no momento \(x\) está ainda inalterado. A velocidade da reação é então \(\displaystyle -\frac{du}{dx},\) e de acordo com a lei da ação das massas uma equação da forma
\(\displaystyle \frac{du}{dx}=-ku,\)
onde \(k\) é uma constante que depende da substância reagente. Podemos reescrever essa equação como
\(\displaystyle \frac{u'}{u}=-k.\)
Note que, usando a regra da cadeia, a derivada de \(f(x)=\ln(u(x))\) é
\(\displaystyle f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln(u(x))\right)=\frac{u'}{u},\)
logo \(\displaystyle f'(x)=-k.\) Portanto, \( f'(x)+k=0.\) Como podemos resolver esta equação?
Veja que
\(\displaystyle k=\frac{d}{dx}(kx),\)
daí, temos
\(\displaystyle \frac{d}{dx}(f(x)+kx)=0.\)
Assim, \(f(x)+kx\) é constante, ou seja,
\(\displaystyle \ln(u(x))+kx=C\Rightarrow \ln(u(x))=C-kx\Rightarrow u(x)=e^{C-kx}=e^C e^{-kx}.\)
Chamando \(\displaystyle e^C=M,\) temos
\(\displaystyle u(x)=Me^{-kx}.\)
Note que \(M=u(0).\)