1. O que vamos precisar?
Há vários pré-requisitos matemáticos para aprender bem o cálculo. A maioria deles são técnicas de álgebra, trigonometria e geometria analítica. Agora, precisaremos apenas de algumas das ideias simples da geometria analítica.
Na geometria analítica, introduzimos um sistema de coordenadas, desenhando duas linhas perpendiculares, os dois eixos, ao longo dos quais medimos distâncias; convencionalmente, números positivos representam distâncias à direita ou esquerda no eixo horizontal e distâncias para cima ou para baixo no eixo vertical.
Então, associamos um par de números \( (a, b)\) a cada ponto no plano de acordo com o esquema abaixo, em que '\(a\)' indica a distância horizontal e '\(b\)' indica a distância vertical. O ponto correspondente a \( (0, 0)\) é a origem \( O,\) a interseção de nossos dois eixos.
Nas quadro abaixo, o ponto (de cor azul) pode ser arrastado pelo plano. Movimente livremente o ponto P e analise os valores de suas coordenadas.
Podemos então associar pontos a pares de números, e vice-versa. É possível observar curvas que correspondem a equações. Por exemplo, suponha que consideremos a curva mais simples, uma linha reta L. Se \(A = (0,0)\) e \( D = (x, y)\) é qualquer ponto na reta que passa por \(A\) e \(B\), então o segmento de linha \(AE\) tem comprimento \(x\), enquanto o segmento \(DE\) tem comprimento \(y\). Consequentemente, a razão \(\displaystyle\frac{y}{x}=\frac{\overline{DE}}{\overline{AE}}.\) Note que mesmo se \(A\neq(0,0)\), o valor da razão \(\displaystyle\frac{\overline{DE}}{\overline{AE}}\) não muda quando movemos \(D\) na reta que liga os pontos \(A\) e \(B.\)
O número \(\displaystyle m=\frac{\overline{DE}}{\overline{AE}}\) é chamado de inclinação da reta ou coeficiente angular. Tomando quaisquer dois pontos de uma reta, \(A=(x_1,y_1)\) e \(B=(x_2,y_2)\), a razão \(\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) não muda e é igual à inclinação da reta.
Logo, se uma reta tem inclinação \( m\) e passa pelo ponto \(P_0 = (x_0,y_0)\), então um ponto \( P=(x,y) \) está nesta reta se satisfaz
\(\displaystyle m=\frac{y-y_0}{x-x_0}\Rightarrow y-y_0=m(x-x_0)\Rightarrow y=mx+y_0-mx_0.\)
Como a representação gráfica desse tipo de equação é uma reta, dizemos que expressões da forma \( y=ax+b\) são lineares.
Tudo o que não é linear é chamado de não-linear. Quando consideramos equações envolvendo expressões não-lineares, nos deparamos com uma variedade quase desconcertante de possibilidades. Vamos começar com a mais simples de todas, a função quadrática.
Arraste os pontos A e B para alterar o gráfico da parábola dada abaixo.
As coisas parecem bem diferentes para a equação \(\displaystyle y = x^3,\) que é chamada de cúbica.
Mova os 2 PONTOS GRANDES. Conforme você faz isso, observe como a equação da função cúbica muda.
Naturalmente, consideramos \(\displaystyle y = x^4, y = x^5, \cdots,\) e cada uma produz uma curva distintiva. No entanto, em geral, as curvas descritas por \(\displaystyle y = x^n\) para \(n\) par se assemelham à parábola, enquanto as curvas descritas por \(y = x^n\) para \(n\) ímpar se parecem um pouco com uma cúbica.
Mova os controles deslizantes \(a\) e \(n\) para ver o que ocorre com o gráfico.