Representações Gráficas
Antes, vimos que podemos associar a uma função \(f\) um gráfico, que é chamado de gráfico de \(f\) e é o conjunto dos pontos \(x,y\), em que \(x\) está no domínio de \( f\) e \(y=f(x).\) Representamos este conjunto graficamente no plano cartesiano.
Use o aplicativo Desmos ou GeoGebra para fazer o gráfico de algumas funções como \(\displaystyle f(x)=x^4-\frac{5}{2}x^3+\frac{5}{2}x+1\) ou \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}\) ou \(\displaystyle f(x)=x^2+\frac{1}{x}.\)
Como vimos antes, a função pode ser dada por diferentes expressões em diferentes partes do seu domínio. Veja o exemplo abaixo.
Um caso interessante é o de funções chamadas de lineares por partes. Veja o exemplo abaixo.
Note que a função dada acima é formada por "pedaços" de retas. No intervalo em que \(x\) varia de \(-1\) a \(1\), a função é dada pela equação da reta que tem inclinação \( \displaystyle \frac{2}{2}=1\) e passa pelo ponto \( (0,1), \) por exemplo. Logo, se \( -1\leq x\leq 1\),
\(\displaystyle \frac{f(x)-1}{x-0}=\frac{2}{2}=1\Rightarrow f(x)=x+1,\text{ se }-1\leq x\leq 1.\)
Agora, se \( 1\leq x\leq 3,\) \( f\) é constante, \(f(x)=2\). Já se \( 3\leq x\leq 4,\) o gráfico de \( f\) é uma reta que passa por \( (3,2) \) e \( (4,1) \) e tem inclinação dada por \( \displaystyle \frac{1-2}{4-3}=-1.\) Logo, se \(3\leq x\leq 4,\)
\(\displaystyle \frac{f(x)-2}{x-3}=-1\Rightarrow f(x)-2=-x+3\Rightarrow f(x)=5-x,\text{ se }3\leq x\leq 4.\)
De forma similar, temos que \(\displaystyle f(x) = x-3,\) se \( 4\leq x\leq 6.\) Escrevemos então
\(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+1, & -1\leq x<1\\ 2, & 1\leq x<3\\ 5-x, & 3\leq x<4\\ x-3, & 4\leq x\leq 6 \end{array}\right.\)