Inclinações
Vimos que a inclinação da reta, também chamada de coeficiente angular, é dada por \(\displaystyle m =\frac{\text{ variação em } y}{\text{ variação em }x}.\) Aqui, "variação em y" é a diferença nas coordenadas y de dois pontos na reta e "variação em x" é a diferença nas coordenadas x dos mesmos dois pontos.
Em notação matemática, se você tem dois pontos \( (x_1, y_1)\) e \( (x_2, y_2),\) a inclinação \(m\) pode ser calculada como:
\(\displaystyle m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}.\)
A inclinação representa a taxa de variação da coordenada \( y\) em relação à coordenada \(x.\) Isso indica o quão íngreme a reta está ascendendo ou descendendo. Uma inclinação positiva significa que a reta sobe da esquerda para a direita, uma inclinação negativa significa que a reta desce, e uma inclinação de zero indica uma linha horizontal.
Lembre-se de que uma reta vertical tem uma inclinação indefinida porque a mudança em \(x\) é zero, e a divisão por zero é indefinida.
Veja o applet abaixo.
Podemos também calcular aproximações para inclinações de curvas mais gerais. A ideia é representada pelo applet abaixo.
Note que quanto mais próximos são os pontos \(A\) e \(B\), mais próxima a reta que passa por \(A\) e \(B\), chamada de reta secante, se aproxima da reta que passa pelo ponto \(A\) e tem a mesma direção do gráfico de \( f\). Esta reta é chamada de tangente. Ainda mais, quanto mais próximos são os pontos \(A\) e \(B\) mais próximas são as retas tangente e secante e também a curva que representa o gráfico de \( f\).
Use o Desmos ou GeoGebra para examinar essas ideias ao analisar a função \(\displaystyle f(x) = 10(x^2 - x^3),\) perto do ponto \( (0,5, 1,25).\) Primeiro, você deve verificar se o ponto \( (0,5, 1,25)\) está no gráfico de \(f.\) Certifique-se de que sua visualização inclua o ponto \( (0,5, 1,25)\) e seja grande o suficiente para fornecer uma boa visão geral da forma de toda a curva.