11. Revisão de Trigonometria
A trigonometria começa com um triângulo retângulo. O tamanho do triângulo não é tão importante quanto os ângulos. Nos concentramos em um ângulo específico - chamemos de \(\alpha\) - e nas razões entre os três lados \( x, y, r.\) As razões não mudam se o triângulo for redimensionado para outro tamanho. Três lados fornecem seis razões, que são as funções básicas da trigonometria. Veja a animação abaixo.
Observe que "tangente de um ângulo", "tangente a um círculo" e "reta tangente a um gráfico" são usos diferentes da mesma palavra. À medida que o cosseno de \(\alpha\) se aproxima de zero, a tangente de \(\alpha\) tende ao infinito. Se lado \(x\) tende a zero, \(\alpha\) se aproxima de \(90^{\circ}\) graus e o triângulo se torna infinitamente íngreme. O seno de \(90^{\circ}\) graus é \(y/r = 1.\)
Triângulos têm uma limitação séria. Eles são excelentes para ângulos de até \(90^{\circ}\) graus, e estão razoáveis até \(180^{\circ}\) graus, mas depois disso eles falham. Não podemos encaixar um ângulo de \(240^{\circ}\) graus em um triângulo. Portanto, agora vamos mudar para um círculo.
Veja a animação abaixo do Círculo Trigonométrico.
Uma mudança adicional ocorre com a transição para um círculo. Deixamos de usar graus para usar radianos. A distância ao redor de todo o círculo é \(2\pi r.\) A distância ao redor de outros pontos é \(\theta r.\) Medimos o ângulo pelo múltiplo theta. Para meia circunferência, a distância é \(\pi r,\) então o ângulo é \(\pi\) radianos, o que equivale a \(180^{\circ}\) graus. Um quarto de círculo é \(\pi/2\) radianos ou \(90^{\circ}\) graus. A distância ao redor para o ângulo \(\theta\) é \(r\) vezes \(\theta.\)
As duas animações abaixo mostram todas as seis funções trigonométricas. Usando semelhança de triângulos é possível deduzir qualquer identidade trigonométrica.