12. Derivadas de funções trigonométricas
Primeiramente, vejamos os gráficos das funções seno e cosseno. Veja a animação abaixo.
Agora vamos enfrentar o problema de encontrar a derivada da função seno. Queremos calcular
\(\displaystyle \text{sen}'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}.\)
Se tudo o que você se importa é com a resposta, a derivada do seno é o cosseno, e, de qualquer forma, você não deveria sentir que precisa ser capaz de reproduzir os seguintes cálculos. Mas vale a pena ler o argumento pelo menos uma vez, apenas para ter uma ideia das manobras que podem ser necessárias para encontrar derivadas, afinal, você não gostaria de passar a vida com a impressão errada de que sempre se trata apenas de um monte de truques algébricos.
Primeiramente, vamos usar a seguinte identidade trigonométrica. Uma prova dessa identidade pode ser vista AQUI!
\(\displaystyle \text{sen}(x+h)=\text{sen}(x)\cos(h)+\text{sen}(h)\cos(x)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}=\frac{\text{sen}(h)\cos(x)+\text{sen}(x)\cos(h)-\text{sen}(x)}{h}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \text{sen}'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\text{sen}(h)}{h}\right)\cos(x)+\lim_{h\to0}\left(\frac{\cos(h)-1}{h}\right)\text{sen}(x).\)
Lembre-se que mostramos na página sobre Teorema do Confronte e o Limite Fundamental (Clique Aqui!) que
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\text{sen}(h)}{h}=1.\)
Agora, com relação ao outro limite, usando que \(\displaystyle \cos^2(h)+\text{sen}^2(h)=1,\) temos
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h}\frac{\cos(h)+1}{\cos(h)+1}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\left(\frac{\cos^2(h)-1}{h}\right)\frac{1}{\cos(h)+1}=\lim_{h\to0}\left(\frac{-\text{sen}^2(h)}{h}\right)\frac{1}{\cos(h)+1}\)
\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\left(\frac{\text{sen}(h)}{h}\right)\frac{-\text{sen}(h)}{\cos(h)+1}.\)
Usando que se \(h\) tende a \(0,\) \(\displaystyle \frac{\text{sen}(h)}{h}\) se aproxima de \(1\), \(\text{sen}(h)\) se aproxima de \(\text{sen}(0)=0\) e \(\cos(h)+1\) se aproxima de \(\cos(0)+1=1+1=2,\) temos que
\(\displaystyle \lim_{h\to0}\left(\frac{\text{sen}(h)}{h}\right)\frac{-\text{sen}(h)}{\cos(h)+1}=\left(\lim_{h\to0}\frac{\text{sen}(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to0}\frac{-\text{sen}(h)}{\cos(h)+1}\right)=1\cdot\frac{0}{2}=0.\)
Portanto
\(\displaystyle \Rightarrow \text{sen}'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\text{sen}(h)}{h}\right)\cos(x)+\lim_{h\to0}\left(\frac{\cos(h)-1}{h}\right)\text{sen}(x)=1\cdot\cos(x)+0\cdot\text{sen}(x)=\cos(x).\)
Embora os passos que levam até ele possam ser considerados bastante complicados, você precisa admitir que o resultado final é uma das fórmulas mais simples que se poderia esperar! Ainda assim, pode ser uma boa ideia verificar se a fórmula realmente produz resultados que pareçam razoáveis. Veja a animação abaixo.
Troque entre seno e cosseno! Mova o ponto vermelho! Lembre-se de que a derivada é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função.
Tendo descoberto a derivada da função seno, é natural perguntar pela derivada da função cosseno. Um procedimento direto é simplesmente começar com a definição.
\(\displaystyle \cos'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}.\)
Usando a identidade trigonométrica \(\displaystyle \cos(x+h)=\cos(x)\cos(h)-\text{sen}(x)\text{sen}(h),\) temos
\(\displaystyle \cos'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x)\cos(h)-\cos(x)-\text{sen}(x)\text{sen}(h)}{h}\)
\(\displaystyle \cos'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{\cos(h)-1}{h}\right)\cos(x)-\lim_{h\to0}\left(\frac{\text{sen}(h)}{h}\right)\text{sen}(x)=0\cdot\cos(x)-1\cdot\text{sen}(x)=-\text{sen}(x).\)
As derivadas das outras funções trigonométricas podem então ser encontradas usando a regra do quociente:
\(\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot\frac{1}{g}\right)=f'\cdot\frac{1}{g}+f\cdot\left(\frac{1}{g}\right)'\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'}{g}+f\left(-\frac{g'}{g^2}\right)=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}.\)
Portanto
\(\displaystyle (\tan(x))'=\left(\frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)}\right)'=\frac{\text{sen}'(x)\cdot \cos(x)-\text{sen}(x)\cdot\cos'(x)}{\cos^2(x)}\)
Como \(\displaystyle \text{sen}'(x)=\cos(x),\) \(\displaystyle\cos'(x)=-\text{sen}(x)\) e \(\displaystyle \cos^2(x)+\text{sen}^2(x)=1,\) temos
\(\displaystyle (\tan(x))'=\frac{\cos^2(x)+\text{sen}^2(x)}{\cos^2(x)}\)
\(\displaystyle \Rightarrow (\tan(x))'=\frac{1}{\cos^2(x)}=\sec^2(x).\)
De forma similar, encontramos
\(\displaystyle (\cot(x))'=-\frac{1}{\text{sen}^2(x)}=-\csc^2(x),\)
\(\displaystyle (\sec(x))'=\frac{\text{sen}(x)}{\cos^2(x)}=\sec(x)\cdot\tan(x),\)
\(\displaystyle (\csc(x))'=-\frac{\cos(x)}{\text{sen}^2(x)}=-\csc(x)\cdot\cot(x).\)