Problemas de Otimização
Nós já aprendemos as técnicas e métodos do Cálculo usados para resolver alguns problemas de otimização, que são problemas em que queremos determinar valores máximos ou mínimos de uma determinada função ou os pontos em que essa função atinge esses valores.
Vamos ver mais alguns desses problemas.
Exemplo 1. De todos os triângulos que possuem com base e área dadas, determine o que possui o maior perímetro.
Para resolver este problema, tomamos o eixo-x ao longo da base \(AB\) dada e o ponto médio de \(AB\) como origem (veja a animação abaixo). Se \(C\) é o vértice do triângulo, \(h\) sua altura (que é fixada pela área e pela base) e \( (x, h)\) são as coordenadas do vértice, então a soma dos dois lados \(AC\) e \(BC\) do triângulo é dada por
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{(x+a)^2+h^2}+\sqrt{(x-a)^2+h^2},\)
onde \(2a\) é o comprimento da base.
Temos que a derivada de \( f\) é
\(\displaystyle f'(x)=\frac{x+a}{\sqrt{(x+a)^2+h^2}}+\frac{x-a}{\sqrt{(x-a)^2+h^2}},\)
logo a segunda derivada é
\(\displaystyle f''(x)=\frac{-(x+a)^2}{\sqrt{[(x+a)^2+h^2]^3}}+\frac{1}{\sqrt{(x+a)^2+h^2}}+\frac{-(x-a)^2}{\sqrt{[(x-a)^2+h^2]^3}}+\frac{1}{\sqrt{(x-a)^2+h^2}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow f''(x)=\frac{h^2}{\sqrt{[(x+a)^2+h^2]^3}}+\frac{h^2}{\sqrt{[(x-a)^2+h^2]^3}}>0.\)
Note que \( f'(0)=0.\) Como \(f''(x)>0\) para todo \(x\) no domínio de \(f,\) o gráfico de \( f\) tem concavidade para cima e \( x=0\) é um ponto de mínimo de \(f.\)
Similarmente, podemos que que dentre todos os triângulos que possuem perímetros e comprimento da base fixos, o triângulo isósceles é o que tem a maior área.
Exemplo 2 (Lei de Refração). Dados dois pontos \(A\) e \(B\) situados em lados opostos do eixo-x. Qual é o caminho de \(A\) para \(B\) que exige o tempo mais curto possível, se a velocidade de um lado do eixo-x for \(\displaystyle c_1\) e do outro lado for \(\displaystyle c_2?\)
Claramente, este caminho mais curto deve consistir em dois segmentos de retas que se encontram em um ponto \(P\) no eixo-x. Utilizando a notação da animação abaixo, obtemos as duas expressões \(\displaystyle \sqrt{h^2+x^2}\) e \(\displaystyle \sqrt{h_{1}^2+(a-x)^2},\) para os comprimentos \(PA\) e \(PB\) respectivamente.
Encontramos o tempo do percurso ao longo desse caminho dividindo os comprimentos dos dois segmentos pelas velocidades correspondentes e, em seguida, somando:
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{c_1}\sqrt{h^2+x^2}+\frac{1}{c_2}\sqrt{h_{1}^2+(a-x)^2}.\)
Tomando a derivada de \(f,\) obtemos
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{c_1}\frac{x}{\sqrt{h^2+x^2}}-\frac{1}{c_2}\frac{a-x}{\sqrt{h_{1}^2+(a-x)^2}}.\)
A segunda derivada é igual a
\(\displaystyle f''(x)=\frac{1}{c_1}\frac{h}{\sqrt{[h^2+x^2]^3}}+\frac{1}{c_2}\frac{h_1}{\sqrt{[h_{1}^2+(a-x)^2]^3}}>0,\)
logo a concavidade do gráfico de \(f\) é sempre para cima e todo ponto crítico, que são as soluções de \( f'(x)=0\), são pontos de mínimo. Veja que se \(f'(x)=0,\) então
\(\displaystyle \frac{1}{c_1}\frac{x}{\sqrt{h^2+x^2}}=\frac{1}{c_2}\frac{a-x}{\sqrt{h_{1}^2+(a-x)^2}}.\)
Essa condição é equivalente a:
\(\displaystyle \frac{1}{c_1}\text{sen}(\alpha)=\frac{1}{c_2}\text{sen}(\beta)\Leftrightarrow \frac{\text{sen}(\alpha)}{\text{sen}(\beta)}=\frac{c_1}{c_2}.\)
Você pode verificar o fato de que há apenas um ponto que satisfaz essa condição e que este ponto realmente dá o valor mínimo necessário. O significado físico do nosso exemplo é dado pelo princípio óptico do menor tempo. Um raio de luz viajando entre dois pontos descreve o caminho de menor tempo. Se \(c_1\) e \(c_2\) forem as velocidades da luz de cada lado da fronteira de dois meios ópticos, o caminho da luz será aquele dado pelo nosso resultado, que é uma forma da lei da refração de Snell.
Exemplo 3. Você tem a tarefa de projetar uma caixa cortando quadrados dos cantos de um retângulo de papelão de 8 cm por 6 cm. Utilize a animação abaixo para investigar a caixa e escolher as dimensões que você considera melhores.
Vamos chamar de \(x\) os comprimentos dos lados dos quadrados que cortamos nas pontas do retângulo. O volume da caixa é dado por
\(\displaystyle V(x)=x(8-x)(6-x)=x(x^2-14x+48)=x^3-14x^2+48x,\quad 0\leq x\leq 6.\)
A derivada desta função é dada por
\(\displaystyle V'(x)=3x^2-28x+48.\)
As soluções de \(V'(x)=0\) são
\(\displaystyle x=\frac{28\pm\sqrt{28^2-4\cdot 3\cdot 48}}{2\cdot 3}=\frac{14\pm2\sqrt{13}}{3}.\)
Agora como a segunda derivada \(\displaystyle V''(x)=6x-28,\) você pode verificar que
\(\displaystyle V''\left(\frac{14-2\sqrt{13}}{3}\right)<0,\quad V''\left(\frac{14+2\sqrt{13}}{3}\right)>0.\)
Logo \(\displaystyle x=\frac{14-2\sqrt{13}}{3}\approx 2,63\) é ponto de máximo e \(\displaystyle x=\frac{14+2\sqrt{13}}{3}\approx 7,07\) é ponto de mínimo local da função \(V(x)\), mas como \(0\leq x\leq 6,\) não consideramos este ponto.