O que é o limite?
É possível, embora difícil, compreender cálculo sem um entendimento sólido do significado de um limite. Uma derivada, o conceito fundamental do cálculo diferencial, é um limite. Uma integral, o conceito fundamental do cálculo integral, é um limite.
Para compreender o limite, precisamos saber como lidar com o infinito, que tem um conceito diferente do de um número. Vamos considerar um problema de uma bola quicando. Consideramos uma bola idealmente elástica que é solta de uma altura de 1 metro. Cada quique a leva a 1/4 da altura anterior. Na prática, é claro que uma bola de borracha quica apenas um número finito de vezes, mas a bola idealizada quica um número infinito de vezes. As alturas se aproximam de zero como limite, mas como os intervalos de tempo de cada quique também se aproximam de um limite de zero, a bola finalmente atinge um limite. Quando a bola para de quicar, a que distância ela percorreu?
Ignorando por um momento a queda inicial de 1 metro, a bola irá subir 1/4 de metro e depois cair 1/4 de metro, resultando em um total de 1/2 metro de distância percorrida. Depois disso, cada quique (subida mais queda) é 1/4 do quique anterior. Tomando \( x\) como a distância total percorrida pela bola após o primeiro quique de 1 metro, escrevemos a equação:
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\frac{1}{128}+...\)
Veja que multiplicando a equação acima por 4, obtemos
\(4x=2+x\Rightarrow x=\frac{2}{3}\)
Esta é a distância que a bola quica após a primeira queda de 1 metro. A distância total percorrida pela bola é \(\displaystyle\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}.\)
Veja a animação abaixo para ter uma ideia visual da soma \(\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+...\)
Antes deste exemplo, você já viu alguns limites antes, quando estudamos o problema da velocidade em um instante e também o problema similar do significado da inclinação de uma curva em um ponto. Portanto, você está pronto para uma definição de limite. Um bom ponto de partida é perguntar sobre a convergência para zero.
Existe um símbolo reconhecido para "um número positivo arbitrariamente pequeno". É a letra grega \(\epsilon\) (épsilon). A convergência de uma expressão algébrica, digamos \(f(x),\) para um número \(L\) à medida que \(x\) se aproxima de um número \(a,\) significa que a diferença entre a expressão e o número eventualmente fica abaixo de \(\epsilon\) e permanece lá se \(x\) estiver suficientemente próximo de \(a.\) Quanto menor for \(\epsilon ,\) mais rigoroso será o teste e mais próximo teremos que levar o número \(x\) até \(a,\) ou seja, a diferença entre \(x\) e \(a\) deve ser menor. Pense em \(\epsilon\) como a tolerância e vá reduzindo-a. Se \(x\) estiver próximo de \(a,\) então \(f(x)\) estará próximo de \(L.\) Se \(|x - a|\) for pequeno, então \(|f(x) - L|\) deve ser pequeno. Como antes, a palavra "pequeno" não diz tudo. Realmente queremos dizer "arbitrariamente pequeno" ou "abaixo de qualquer \(\epsilon\)". A diferença \(|f(x) - L|\) deve se tornar tão pequena quanto qualquer um desejar, quando \(x\) se aproxima de \(a.\) Nesse caso, \(\displaystyle lim_{x\to a} f(x) = L.\) Ou escrevemos \(f(x) \rightarrow L\) quando \(x\) tende ao número \(a.\)
Chegamos à "definição epsilon-delta" dos limites. É um desafio de uma pessoa contra outra. A primeira pessoa escolhe Épsilon (\(\epsilon\)). É necessário mostrar que \(f(x)\) está a uma distância menor que \(\epsilon\) de \(L,\) para todo \(x\) suficientemente próximo a \(a.\) Em seguida, outra pessoa responde com um número delta (\(\delta\)). Isso define o significado de "suficientemente próximo a \(a\)". O objetivo desta segunda pessoa é fazer com que \(f(x)\) esteja a uma distância menor que \(\epsilon\) de \(L,\) mantendo \(x\) a uma distância menor que \(\delta\) de \(a:\)
\(\text{Se } 0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon.\)
A tolerância de entrada é \(\delta\) (delta), a tolerância de saída é \(\epsilon\) (Épsilon). Quando a segunda pessoa consegue encontrar um valor \(\delta\) para cada \(\epsilon,\) a primeira pessoa admite que o limite é \(L.\)
Veja a animação abaixo.