6.3 Teorema do Confronto e o Limite Fundamental
Um dos resultados interessantes e simples do cálculo de limites é o Teorema do Confronto. Este resultado afirma simplesmente que se a desigualdade
\(\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)\)
é válida para qualquer \(x\) num intervalo \( (a,b), \) exceto possivelmente em \(x=c\in (a,b),\) e além disso
\(\displaystyle \lim_{x\to c}h(x)=L\text{ e }\lim_{x\to c}f(x)=L,\)
então \(\displaystyle \lim_{x\to c}g(x)=L.\)
A demonstração deste resultado é baseada no simples fato que \(\displaystyle f(x)-L\leq g(x)-L\leq h(x)-L\) e \(\displaystyle L-f(x)\geq L-g(x)\geq L-h(x).\) Basta agora usar o fato que \(f(x)\) e \(h(x)\) se aproximam de \(L\) quando \(x\) está suficientemente próximo de \(a\). A pergunta é o quão próximo \(x\) tem que ser de \( a\) para garantir uma determinada proximidade de \( g(x)\) de \(L.\) Vou deixar para você pensar nisso.
Veja a animação abaixo que mostra um exemplo desse resultado. Mova o ponto do meio.
Outro exemplo interessante é conhecido como o limite fundamental, que é \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\text{sen }x}{x}=1.\)
Para mostrar este resultado, veja a animação abaixo.
Se chamamos o ângulo de \(x\), a área do triângulo pequeno é \(\text{sen }x\), a área do setor circular é \( x\), lembre-se que a área do setor circular de abertura \( \theta\) e raio \( r\) é dada por \(\displaystyle r^2\cdot\frac{\theta}{2}\), e a área do triângulo grande é \(\tan x\).
Vemos na animação acima que \(\displaystyle \text{sen }x\leq x\leq \tan x.\) Dividindo esta desigualdade por \(\text{sen }x,\) note que \(\text{sen }x>0\) se \(0<x<\pi\) e \(\displaystyle\tan x=\frac{\text{sen }x}{\cos x},\) temos
\(\displaystyle 1\leq \frac{x}{\text{sen }x}\leq \frac{1}{\cos x}.\)
Como \(\displaystyle \lim_{x\to 0}1=1\) e \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\cos 0}=1,\) temos \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x}{\text{sen }x}=1,\) logo \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen }x}{x}=1.\)