MTM3110-01216 (20242) - Cálculo 1

Chegamos aos problemas centrais que o cálculo foi inventado para resolver. Existem duas questões, em direções opostas.

1. Se a velocidade está mudando, como você pode calcular a distância percorrida?

2. Se o gráfico da função de distância não é uma linha reta, qual é a sua inclinação?

Encontrar a distância a partir da velocidade, encontrar a velocidade a partir da distância. Nosso objetivo é fazer ambos, mas não em uma única seção. O primeiro passo é permitir que a velocidade mude da maneira mais constante possível.

Vejamos o caso em que \(\displaystyle v(t)=2t.\) Com \(v(t) = 2t,\) um físico diria que a aceleração é constante (ela é igual a \( 2).\) O motorista pisa no acelerador, o carro acelera e o velocímetro sobe constantemente. A distância também aumenta, cada vez mais rápido. Se medirmos \( t\)  em segundos e \( v\) em metros por segundo, a distância \( d\) é obtida em metros. Após 10 segundos, a velocidade é de 20 metros por segundo. Após 44 segundos, a velocidade é de 88 metros por segundo. A aceleração é clara, mas a que distância o carro percorreu?

A velocidade não é constante, mas podemos aproximar a velocidade média entre intervalos de tempo de 1 em 1 segundo como sendo a média das velocidades iniciais e finais. Por exemplo, no intervalo de \( t= 2\) segundos a \( t= 3\) segundos, a velocidade inicial (\( t=2\) ) é \( v(2)=2\cdot 2=4\) m/s, já a velocidade final (\( t=3\) ) é \( v(3) = 2\cdot 3=6\) m/s, logo a média entre estas velocidades é 5 m/s. Temos então a seguinte tabela.

Logo a distância total aproximada é de \( 1+3+5+7=16\) metros. Note que a área sob o gráfico de \( v(t)=2t\) no intervalo \( 0\leq t\leq 4\) é a área de um triângulo de base igual a 4 e altura 8, logo possui área igual a \( \displaystyle \frac{4\cdot 8}{2}=16.\) Isso não é uma coincidência, mas só provaremos isso mais tarde para situações mais gerais do que a que apresentamos aqui. Veja a animação abaixo relacionada com a aproximação que fizemos.

Agora, supondo que conhecemos a função que dá a distância em relação ao tempo, \( d(t)\), como podemos encontrar a velocidade num instante \( t=t_0.\) Lembre-se que a velocidade média é dada pela variação da distância dividida pela variação do tempo.

Geometricamente, o que é a média? É uma inclinação, mas não a inclinação da curva. A velocidade média é a inclinação de uma reta. A reta passa por dois pontos no gráfico da função distância.

Vamos considerar um exemplo simples, \( d(t) = t^2.\) Uma aproximação para a velocidade em \( t=5\) pode ser dada pela velocidade média entre \( t=5\) e \( t=6\), que é \( \displaystyle \frac{6^2-5^2}{6-5}=36-25=11.\) Mas essa aproximação não parece ser muito boa. Vamos então considerar a velocidade média entre \( t=5\) e \( t=5,5\), que é dada por \(\displaystyle \frac{(5,5)^2-5^2}{5,5-5}=10,5.\) No entanto, isso ainda não é exato.

A maneira de encontrar \( v(5)\)  é reduzir continuamente o intervalo de tempo. Isso é um dos conceitos fundamentais do cálculo diferencial. Encontre a inclinação entre pontos que estão cada vez mais próximos na curva. O "limite" é a inclinação em um único ponto. A álgebra fornece a velocidade média entre \(t = 5\) e qualquer momento posterior \(t = 5 + h\), onde \( h\) $$é um número muito pequeno, \( h\approx 0.\) A distância aumenta de \( 5^2\) para \( (5 + h)^2.\) A mudança no tempo é \(h.\) Portanto, a velocidade média é

\(\displaystyle v(5)\approx \frac{(5+h)^2-5^2}{h}=\frac{5^2+10h+h^2-5^2}{h}=\frac{h(10+h)}{h}=10+h.\)

Logo, \( v(5)=10\) m/s.

Na realidade, podemos mostrar que se \( d(t) = t^2,\) então \( v(t) = 2t.\) Você está vendo o fundamental do cálculo, e podemos expressá-lo em palavras antes de equações. Calcule a distância no tempo \(t + h,\) subtraia a distância no tempo \(t\) e divida por \(h.\) Isso fornece a velocidade média, \(\displaystyle v_{med}.\)

\(\displaystyle v_{med}=\frac{d(t+h)-d(t)}{h}=\frac{(t+h)^2-t^2}{h}=\frac{t^2+2ht+h^2-t^2}{h}=\frac{h(2t+h)}{h}=2t+h.\)

Isso se encaixa no cálculo anterior, onde \(t\) era 5. A média era \(10 + h.\) Agora a média é \(2t + h.\) Isso depende do passo de tempo \( h,\) porque a velocidade está mudando. Mas podemos ver o que acontece conforme \( h\) se aproxima de zero. A média fica cada vez mais próxima da leitura do velocímetro de \(2t,\) no exato momento em que o relógio mostra o tempo \(t:\) À medida que \(h\) se aproxima de zero, a média de velocidade \(2t + h\) se aproxima de \(v(t) = 2t.\)

Veja uma animação gráfica desse tipo de cálculo para outras funções.