2. O que é uma função?
Um dos conceitos matemáticos mais elementares é o de uma função. Uma função \(f\) é apenas uma regra para atribuir a um número \(x\) outro número, que é representado por \(f(x);\) este número é chamado de "valor" de \(f\) em \(x,\) e \(f(x)\) é simplesmente pronunciado como "\(f\) de \(x".\) Pelo gráfico da função \(f,\) queremos dizer a coleção de todos os pontos \( (x, f(x)).\) Por exemplo, se \(f\) é a função determinada pela regra \(\displaystyle f(x) = 2x^2 + 3,\) então o seu gráfico consiste em todos os pontos \( (x, 2x^2 + 3).\) Mova os controles deslizantes \(a\) e \( c\) para esboçar o gráfico desta função.
Em geral, usamos a letra \(x\) para variável independente e \(y\) para a variável dependente, \(y=f(x),\) pois \(y\) depende de \(x.\)
Se desejarmos atribuir valores numéricos a \(x\) e \(y\) no exemplo \(\displaystyle f(x) = 2x^2 + 3,\) alteramos a variável independente x por um número, por exemplo \(x = 4,\) e calculamos \(\displaystyle y = 2(4)^2 + 3 = 2\cdot16 + 3 = 35,\) atribuindo à variável dependente o valor \(y = 35.\)
Um outro exemplo de uma função é a relação entre a área do quadrado e o comprimento do seu lado. Note que se denotamos o comprimento do lado do quadrado por \(x\), a sua área é dada por \(\displaystyle y=x^2.\) Reciprocamente, \(\displaystyle x=\sqrt{y},\) ou seja, o comprimento do lado do quadrado também é uma função da sua área. Logo, existe um único comprimento de lado \(x\) em que obtemos uma área \(y\), e vice-versa. Funções que satisfazem essa propriedade são chamadas de injetivas.
Como há restrições em determinadas operações algébricas, dependendo da função, não podemos calcular \(y=f(x)\) para qualquer \(x.\) Por exemplo, não podemos dividir por zero, logo \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\) não pode ser calculada em \(x=0.\)
O conjunto de valores que a variável independente pode assumir é chamado de domínio e é denotado por \(\displaystyle D(f).\) O conjunto de valores assumidos pela variável dependente é chamado de imagem e é denotado por \( Im(f).\) Essencialmente, o domínio de uma função é o conjunto de entradas, já a imagem é o conjunto de saídas.
A imagem dinâmica dada abaixo ilustra o domínio e a imagem de uma função.
Uma função pode ser uma regra que não pode ser expressa por uma equação. Pode-se considerar uma função f dada por uma regra definida por partes. Use a imagem dinâmica dada abaixo para explorar uma função definida por partes. Arraste os pontos \(A\) e \(B\) ao longo do eixo \(x\) e observe como o gráfico e a equação se modificam.
Uma coisa importante a notar é que uma regra \(f\) é uma função se para cada \(x\) existe apenas um \(f(x).\) Por exemplo, as posições das cidades em um mapa são funções de suas posições no planeta Terra. Diferentes pessoas podem ter a mesma mãe, mas nenhuma pessoa tem mais de uma mãe. Portanto, mães são funções de pessoas, mas não avós, pois uma pessoa pode ter mais de uma avó. Da mesma forma, as curvas no plano só podem ser gráficos de funções se não tiverem dois pontos diferentes na mesma linha vertical, porque o gráfico de uma função consiste em pontos da forma \((x, f(x)),\) onde \(f(x)\) só pode ser um único número para cada \(x.\)