7. O que é continuidade?
Funções contínuas levantam todo tipo de questões filosóficas. Os Correios podem não querer levar muito a sério a continuidade (será que um pouco mais de tinta de caneta em uma carta realmente altera a postagem?), mas independentemente de a função fazer sentido no mundo real, ela precisa ser considerada no mundo da matemática. Portanto, queremos adotar alguma terminologia para distinguir funções "razoáveis" de tais peculiaridades. Dizemos que uma função \(f\) é contínua em \(a\) se
\(\lim_{x\to a}f(x)=f(a).\)
Veja a animação abaixo para compreender bem o que quer dizer a igualdade acima. Clique no botão "iniciar a animação."
Arraste os pontos \(A\) e \(B\) ao longo do eixo \(x\) e observe como o gráfico e a equação mudam, bem como a continuidade da função nos pontos \(x = A\) e \(x = B.\)
Uma das propriedades interessantes das funções contínuas é chamada de Teorema do Valor Intermediária. Ele afirma que se \(g\) é uma FUNÇÃO CONTÍNUA no intervalo \([a, b],\) e se \(N\) é um valor qualquer de saída entre \(g(a)\) e \(g(b),\) onde \(g(a)\) e \(g(b)\) não são iguais, então existe um valor de entrada \(c\) no intervalo aberto \( (a, b)\) de forma que \(g(c) = N.\)
A animação abaixo ilustra dinamicamente esse fato. Você pode simplesmente arrastar os pontos \(A\) e \(B\) para a esquerda e direita para ajustar os valores de \(a\) e \(b.\) Você também pode inserir qualquer valor \(N\) entre \(g(a)\) e \(g(b)\) movendo o GRANDE PONTO AZUL ou simplesmente inserindo um valor.