9. O que é a derivada?
Um dos conceitos fundamentais do cálculo é a derivada. Derivadas podem ser usadas para descrever a taxa de variação de uma quantidade; por exemplo, a velocidade de um objeto que se afasta de um ponto é a taxa na qual a distância entre o objeto e o ponto está variando.
Conhecer a derivada nos permite determinar muitas coisas sobre uma função, como a inclinação do gráfico em um ponto. A derivada também fornece informações sobre a forma do gráfico de uma função: onde a função está aumentando e diminuindo, onde tem máximos e mínimos e informações sobre concavidade.
Compreender a relação entre uma quantidade e sua taxa de variação, ou entre uma função e sua derivada, é um dos objetivos fundamentais do cálculo. O objetivo, como sempre, é que você tenha um bom entendimento dos conceitos, enquanto também percebe o papel deles no mundo ao seu redor.
A derivada teve origem a partir de um problema na geometria, o problema de encontrar a reta tangente em um ponto de uma curva.
Pode-se observar que em certos pontos onde a curva tem um máximo ou mínimo, como demonstrado na ilustração abaixo, a reta tangente deve ser horizontal. Dessa forma, o problema de localizar esses valores extremos é visto como dependente da solução de outro problema, o de localizar as tangentes horizontais.
Isso levanta a questão mais geral de determinar a direção da reta tangente em um ponto arbitrário da curva.
Embora a derivada tenha sido originalmente formulada para estudar o problema das tangentes, logo se descobriu que ela também oferece um meio de calcular a velocidade e, de maneira mais geral, a taxa de variação de uma função.
Assim, para colocar as coisas em ordem lógica, para uma função f, definimos a sua derivada em \(x=a\) como o limite
\(\displaystyle f'(a)=\frac{df}{dx}(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
e, em seguida, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto \( (a,f(a))\) como a reta que passa por este ponto com inclinação.
Note que o numerador e o denominador têm ambos o valor \(0\) para \( h=0,\) de modo que não há dúvida de avaliar o limite sem pelo menos um pouco de artifício algébrico.
Vamos ver mais um exemplo envolvendo distância e velocidade. Suponha que um projétil seja disparado verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de 144 metros por segundo. Desconsidere o atrito e assuma que o projétil é influenciado apenas pela gravidade, de modo que ele se move para cima e depois volta ao longo de uma linha reta. Seja \( f(t)\) a altura em metros que o projétil alcança \( t\) segundos após o disparo. Se a força da gravidade não estivesse agindo sobre ele, o projétil continuaria a se mover para cima com uma velocidade constante, percorrendo uma distância de 144 metros a cada segundo, e no tempo \( t\) teríamos \(f(t)=144t.\) Na prática real, a gravidade faz com que o projétil desacelere até que sua velocidade diminua a zero e então ele cai de volta à Terra. Experimentos físicos sugerem que enquanto o projétil estiver no ar, sua altura \(f(t) \) é dada pela fórmula
\(\displaystyle f(t)=144t-16t^2\)
O termo \(16t^2\) é devido à influência da gravidade. Observe que \(f(t)=0\) quando \(t=0\) e quando \(t=9.\) Isso significa que o projétil retorna à Terra após 9 segundos, e deve-se entender que a fórmula acima é válida apenas para \(0\leq t\leq 9.\)
O problema que desejamos considerar é o seguinte: determinar a velocidade do projétil a cada instante de seu movimento. Antes de podermos compreender esse problema, devemos decidir o que significa a velocidade em cada instante. Para fazer isso, introduzimos primeiro a noção de velocidade média durante um intervalo de tempo, digamos do tempo \( t\) até o tempo \(t+h.\) Isso é definido como o quociente:
\(\displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}\)
Este quociente é chamado de quociente de diferença. O número \(h\) pode ser positivo ou negativo, mas não zero. Manteremos \(t\) fixo e veremos o que acontece com o quociente de diferença à medida que tomamos valores de \(h\) com valor absoluto cada vez menor. Temos
\(\displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\frac{144(t+h)-16(t+h)^2-(144t-16t^2)}{h}\)
\(\displaystyle=\frac{144t+144h-16t^2-32ht-16h^2-144t+16t^2}{h}=\frac{144h-32ht-16h^2}{h}=144-32t-16h.\)
Portanto, fazendo \( h\rightarrow 0,\) temos
\(\displaystyle f'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim_{h\to0}(144-32t-16h)=144-32t.\)