10. Cálculo de Derivadas
Até agora, descobrimos inúmeros novos conceitos, mas, como é comum em um processo de descoberta desse tipo, as ideias não necessariamente chegaram na ordem mais lógica. Portanto, é uma boa ideia resumir rapidamente nossa jornada até agora.
Vimos que o que é um limite
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=A.\)
Usamos a noção de limite para definir continuidade
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a),\)
uma equação que expressa o fato de que \( f\) não "salta" quando calculada em entradas próximas de \( a.\)
O limite especial
\(\displaystyle f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\)
o qual chamamos de derivada, tanto o numerador quanto o denominador têm o valor \(0\) para \(h = 0,\) de modo que não há questão de avaliar o limite sem pelo menos um pouco de truque algébrico. Vamos ver mais sobre isso abaixo.
Vimos também que a derivada tem uma interpretação geométrica importante: \(f'(a)\) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \( (a, f(a)).\) Além disso, a derivada tem uma interpretação física importante: se \( d(t)\) representa a posição no tempo \(t,\) a derivada \(d'(t)\) representa a velocidade no tempo \(t, v(t).\) Reciprocamente, a área delimitada pela curva \( y=v(t)\) e o eixo-x entre os pontos \(t=a\) e \(t=b\) é igual a distância percorrida no intervalo de tempo de \(t=a\) até \(t=b.\)
Agora, vamos fornecer cálculos para encontrar \( f'(x)\) para algumas funções; usando resultados sobre limites e os truques algébricos apropriados, é então possível obter fórmulas para muitas outras funções.
Em todos esses casos, nossos cálculos serão possíveis porque a fórmula para
\(\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
pode ser simplificada algebraicamente de uma maneira que torna o resultado óbvio.
Para ficar mais fácil, vamos denotar uma pequena variação na entrada por \(dx\), um número bem próximo de zero. A variação de \( x\) para \(x+dx\) provoca uma variação na imagem, de modo que \( f(x)\) varia para \( f(x+dx)\). Vamos chamar denotar esta variação por \( dy=f(x+dx)-f(x).\)
Formalmente, podemos também denotar a variação em \(x\) por \(\Delta x\) ou \(h\), um número tão próximo de zero quanto quisermos, porém diferente de zero, e \( \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=f(x+h)-f(x).\) Queremos avaliar \(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) quando \(\Delta x,h\rightarrow 0.\)
Vejamos alguns exemplos.
(1) Vamos calcular a derivada da função \( f(x)=x^2.\) Temos
\(\displaystyle \Delta y=(x+h)^2-x^2=x^2+2hx+h^2-x^2=h(2x+h)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\Delta y}{h}=2x+h\rightarrow 2x,\)
se \( h\rightarrow 0.\) Logo a derivada de \( \displaystyle x^2\) é
\(\displaystyle (x^2)'=\frac{d}{dx}(x^2)=2x.\)
(2) Mais geralmente, se \(n\) é um número natural, podemos usar a identidade
\(\displaystyle a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k\)
para fazer
\(\displaystyle (x+h)^n-x^n =(x+h-x)\sum_{k=0}^{n-1}(x+h)^{n-1-k}x^k=h\sum_{k=0}^{n-1}(x+h)^{n-1-k}x^k\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\sum_{k=0}^{n-1}(x+h)^{n-1-k}x^k\rightarrow \sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}x^k=\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1}=nx^{n-1}.\)
Portanto
\(\displaystyle (x^n)'=\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}.\)
Essa regra se estende além desses números inteiros 1, 2, 3, 4, 5 para todas as potências:
\(\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'=\frac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2};\)
\(\displaystyle \left(\frac{1}{x^2}\right)'=\frac{d}{dx}(x^{-2})=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3};\)
\(\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)'=\frac{d}{dx}(x^{1/2})=\frac{1}{2}x^{-1/2}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}.\)
Lembre-se de que \( \displaystyle x^{-2}\) significa \(\displaystyle \frac{1}{x^2}\) e \(\displaystyle x^{-1/2}\) significa \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}\). Expoentes negativos levam a funções decrescentes, se aproximando de zero à medida que \(x\) fica grande. Suas inclinações têm sinais negativos se \(x>0.\)
(3) Se sabemos a derivada de \(f\) e \(c\) é uma constante, então qual a derivada de \( cf(x)?\)
Temos que se \( y=cf(x),\)
\(\displaystyle \Delta y=cf(x+h)-cf(x)=c(f(x+h)-f(x))\)
\(\displaystyle \frac{\Delta y}{h}=c\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\rightarrow cf'(x), \)
se \( h\rightarrow 0.\) Logo \(\displaystyle (cf(x))'=\frac{d}{dx}(cf(x))=cf'(x).\)
(4) Se conhecemos as derivadas de \(f\) e \(g\), então qual é a derivada de \(f+g?\)
Temos que se \( y=f(x)+g(x),\)
\(\displaystyle \Delta y=f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))=f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)\)
\(\displaystyle \frac{\Delta y}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\rightarrow f'(x)+g'(x),\)
se \(h\rightarrow 0.\) Portanto \(\displaystyle (f(x)+g(x))'=\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x).\)
(5) Usando os dois últimos exemplos, temos \(\displaystyle (af(x)+bg(x))'=\frac{d}{dx}(af(x)+bg(x))=af'(x)+bg'(x),\) para quaisquer constantes \(a\) e \(b.\)
(6) Se conhecemos as derivadas de \(f\) e \(g\), então qual é a derivada de \(f\cdot g?\)
Temos que se \(y=f(x)g(x),\)
\(\displaystyle \Delta y=f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x).\)
Antes de trabalhar algebricamente com esta expressão, vamos analisar geometricamente.
Note que o valor de \(df\cdot dg\) é irrelevante que que a variação de fato é \(fdg+gdf\). Isso pode ser verificado algebricamente, fazendo
\(\displaystyle \Delta y=f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)=f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x).\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\Delta y}{h}=\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)g(x+h)+f(x)\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\rightarrow f'(x)g(x)+f(x)g'(x),\)
se \(h\rightarrow 0.\) Portanto \(\displaystyle (f(x)g(x))'=\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\) Esta regra é conhecida como regra do produto.
Note que aqui usamos que \( g(x+h)\rightarrow g(x)\) se \(h\rightarrow 0,\) ou seja, se \(g\) possui derivada, então \( g\) é contínua. Isso pode ser verificado facilmente se escrevemos
\(\displaystyle g(x+h)=g(x)+h\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\rightarrow g(x)+0\cdot g'(x)=g(x),\)
se \(h\rightarrow 0.\)
(7) Se conhecemos a derivada de \(f\) e \(f(x)\neq 0\), então qual é a derivada de \(\displaystyle\frac{1}{f}?\)
Temos que se \(\displaystyle y=\frac{1}{f(x)},\)
\(\displaystyle \Delta y=\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)}.\)
Antes de trabalhar algebricamente com esta expressão, vamos analisar geometricamente.
Aqui, estamos vendo \(\displaystyle \frac{1}{f(x)}\) como a tangente de um triângulo retângulo com catetos medindo 1 (cateto oposto) e \(f(x)\) (cateto adjacente). Logo, queremos entender a variação da tangente. Antes de revisar o conteúdo de trigonometria, vamos simplesmente trabalhar algebricamente com a expressão
\(\displaystyle \Delta y=\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)}=\frac{f(x)-f(x+h)}{f(x)f(x+h)}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\Delta y}{h}=-\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\frac{1}{f(x)f(x+h)}\rightarrow -\frac{f'(x)}{(f(x))^2},\)
se \(h\rightarrow 0.\) Portanto \(\displaystyle \left(\frac{1}{f(x)}\right)'=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{f(x)}\right)=-\frac{f'(x)}{(f(x))^2}.\)