13. A Regra da Cadeia
Com as fórmulas de diferenciação desenvolvidas até agora, podemos encontrar derivadas de funções \(f\) para as quais \(f(x)\) é uma soma finita de produtos ou quocientes de múltiplos constantes de \( \text{sen}(x),\) \( \cos(x)\) e \(x^n\) (\(n\) inteiro). No entanto, ainda não aprendemos a lidar com algo como \(f(x) = \cos(x^2)\) sem recorrer à definição de derivada. Nesta seção, apresentaremos um teorema chamado regra da cadeia, que nos permite diferenciar funções compostas, como \(f(x) = \cos(x^2).\) Isso aumenta significativamente o número de funções que podemos diferenciar.
Nós lembramos que se \(f\) e \(g\) são funções, de tal forma que o domínio de \(f\) inclua o contradomínio de \(g,\) podemos definir a função composta \(h = f\circ g\) pela seguinte equação:
\( h(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x)).\)
A regra da cadeia nos diz como expressar a derivada de \(h\) em termos das derivadas \(f'\) e \(g'.\)
Assumindo que \(f\) possui derivada em \(g(x)\) e \(g\) possui derivada em \(x\), temos
\(\displaystyle \frac{h(x+h)-h(x)}{h}=\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}.\)
Aqui, para entender melhor a expressão acima, é útil introduzir alguma notação nova. Vamos chamar \(y = g(x)\) e \(k(h) = g(x + h) - g(x).\) (É importante perceber que \(k\) depende de \(h.)\) Então, temos \(g(x + h) = y + k(h).\) Temos então
\(\displaystyle \frac{h(x+h)-h(x)}{h}=\frac{f(y+k(h))-f(y)}{h}.\)
O lado direito da equação acima se assemelha ao quociente de diferenças cujo limite define \(f'(y),\) com a diferença de que \(h\) aparece no denominador em vez de \(k.\) Se \(k \neq 0,\) é fácil concluir a prova. Basta multiplicar numerador e denominador por \(k,\) e o lado direito da equação acima se torna:
\(\displaystyle \frac{f(y+k(h))-f(y)}{h}=\frac{f(y+k(h))-f(y)}{h}\cdot\frac{k(h)}{k(h)}=\frac{f(y+k(h))-f(y)}{k(h)}\cdot\frac{k(h)}{h}.\)
Quando \(h\rightarrow 0,\) o último quociente à direita tende a \(g'(x).\) Além disso, \(k(h)\rightarrow 0\) quando \(h\rightarrow 0,\) porque \(k(h) = g(x + h) - g(x)\) e \(g\) é contínua em \(x.\) Portanto, o primeiro quociente à direita da última equação se aproxima de \(f'(y)\) conforme \(h\) tende a \(0,\) e isso nos leva imediatamente à regra da cadeia:
\(\displaystyle (f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x).\)
Embora o argumento que usamos pareça ser a forma mais natural de proceder, ele não é completamente geral. Como \(k(h) = g(x + h) - g(x),\) pode acontecer que \(k(h) = 0\) para infinitos valores de \(h\) conforme \(h\rightarrow 0,\) e, nesse caso, a passagem que fizemos não é válida. Um exemplo de tal situação seria \(\displaystyle g(x)=x^2\text{sen}\left(\frac{1}{x}\right),\) considerando o ponto \(x=0,\) temos \(\displaystyle g\left(\frac{1}{2n\pi}\right)=0,\) para todo \(n\) natural. Para superar essa dificuldade, é necessária uma ligeira modificação na prova.
Queremos expressar o quociente à direita em uma forma que não envolva \(k\) no denominador. Para esse fim, introduzimos a diferença entre a derivada \(f'(y)\) e o quociente de diferenças cujo limite é \(f'(y).\) Ou seja, definimos uma nova função \(u\) da seguinte forma:
\(\displaystyle u(t)=\frac{f(y+t)-f(y)}{t}-f'(y),\text{ se } t\neq 0.\)
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\(\displaystyle f(y+t)-f(y)=t(u(t)+f'(y)).\)
Embora esta equação tenha sido derivada sob a hipótese de que \(t\neq 0,\) ela também vale para \(t = 0,\) desde que atribuamos um valor definido a \(u(0).\) Como \(u(t)\rightarrow 0\) quando \(t\) tende a \(0,\) definiremos \(u(0)\) como sendo igual a \(0.\) Isso garantirá a continuidade de \(u\) em \(0.\) Agora, se substituirmos \(t\) na equação acima por \(k(h),\) em que \(k(h) = g(x + h) - g(x),\) obtemos:
\(\displaystyle \frac{h(x+h)-h(x)}{h}=\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\frac{k(h)}{h}\cdot (u(k(h))+f'(g(x))),\)
uma fórmula que é válida mesmo quando \(k = 0.\) Quando \(h\rightarrow 0,\) o quociente \(\displaystyle \frac{k(h)}{h}\) tende a \(g'(x)\) e \(u(k(h))\) tende a \(0.\) Portanto, o lado direito desta equação se aproxima do limite \(g'(x)\cdot f'(g(x)).\) Isso completa a prova da regra da cadeia.
A regra da cadeia é um excelente exemplo para ilustrar a utilidade da notação de Leibniz para derivadas. De fato, se escrevemos a regra da cadeia na notação de Leibniz, ela assume a aparência de uma identidade algébrica trivial. Na verdade, se \(h(x) = f(g(x)) = f(y),\) temos:
\(\displaystyle \frac{dh}{dx}=f'(y)\cdot g'(x)=\frac{df}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}.\)
A relação entre \(x\) e \(y\) é expressa pela equação \(y = g(x).\) A regra da cadeia, como expressa na equação acima, nos diz que a taxa de variação de \(h\) em relação a \(x\) é igual ao produto da taxa de variação de \(h\) em relação a \(y\) e da taxa de variação de \(y\) em relação a \(x.\)