21. A Regra de l'Hôpital
A Regra de L'Hôpital é um teorema que fornece uma técnica para avaliar limites de formas indeterminadas. A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis numa vizinhança do ponto em que estamos calculando o limite.
Regra de L'Hôpital: Sejam \(f\) e \(g\) funções que possuem derivadas em todos os pontos de uma vizinhança de um ponto \(c,\) e
\( f(c)=g(c)=0.\)
Se \(g'(x)\neq 0\) para valores \(x\neq c\) numa vizinhança de \(c,\) então
\(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},\)
desde que o limite do lado direito da equação acima exista.
Esse resultado também é válido se \(f\) e \(g\) possuem derivadas em todos os pontos \(x\neq c\) numa viznhança de \(c\) e
\(\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=\pm\infty\quad \lim_{x\to c}g(x)=\pm\infty.\)
Veja que como \(f(c)=g(c)=0,\) temos \(f(x)=f(x)-f(c)\) e \(g(x)=g(x)-g(c).\) Logo
\(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{g(x)-f(c)}=\lim_{x\to c}\frac{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\frac{g(x)-g(c)}{x-c}}.\)
Note que
\(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c)\quad \lim_{x\to c}\frac{g(x)-g(c)}{x-c}=g'(c).\)
Portanto, assumindo que \(g'(c)\neq 0,\) temos
\(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{\frac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\frac{g(x)-g(c)}{x-c}}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.\)
Se assumirmos que as funções \(f'\) e \(g'\) são contínuas, para mostrar esse resultado, basta ver que, neste caso,
\(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.\)
Uma demonstração mais completa e geral pode ser vista no LINK.
Na animação abaixo, mova o controle deslizante ou assista à animação e observe que a proporção das inclinações das retas tangentes se aproxima da proporção dos valores das funções nas suas raízes. À medida que as retas tangentes se aproximam de cada raiz, você consegue ver como a razão entre suas inclinações deveria ser uma boa aproximação da razão entre seus valores, como indicaria a Regra de L'Hopital?