6.2 Limites no Infinito
Há situações em que \(f(x)\) não se aproxima de um número quando \(x\) tende a um número \(a,\) mas tem uma tendência a assumir valores cada vez maiores de forma que não conseguimos limitar os valores assumidos por \(f(x)\). O que queremos dizer é que por maior que seja um número que você forneça, chame-o de \(G\), conseguiremos encontrar valores \(x\) suficientemente próximos ao número \(a\) de modo que \( f(x)>G.\) Escrevemos \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=\infty\) e dizemos que \(f(x)\) tende a infinito quando \(x\) se aproxima de \(a\).
Se não for possível limitar \(f(x)\) "por baixo" quando \(x\) se aproxima de \(a,\) ou seja, por menor que seja um número que você forneça, chame-o de \(P\), conseguiremos encontrar valores \(x\) suficientemente próximos ao número \(a\) de modo que \( f(x)<P.\) Neste caso, escrevemos \(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=-\infty\) e dizemos que \(f(x)\) tende a menos infinito quando \(x\) se aproxima de \(a\).
A definição é similar quando \(f(x)\) tende a infinito quando \(x\) se aproxima de \(a\) e é menor que \(a\), à esquerda de \(a\), que é \(\displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x)=\infty\), e quando \(f(x)\) tende a infinito quando \(x\) se aproxima de \(a\) e é maior que \(a\), à direita de \(a\), que é \(\displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x)=\infty\).
Em qualquer uma dessas situação, dizemos que a reta vertical \( x=a\) é uma assíntota vertical de \(f.\) Veja a animação abaixo.
Outra propriedade relacionado com o infinito que uma função \( f\) pode ter é se aproximar de um determinado número \( l\) quando tomamos \(x\) suficientemente grande. Formalmente, escrevemos \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=l\) e isso quer dizer que dado um \( \epsilon>0\) (épsilon) tão pequeno quando você queira, poderemos escolher \(x\) grande o suficiente, ou seja, existe um \(N>0\) tal que se \(x>N\), então \( |f(x)-l|<\epsilon.\)
Veja a animação abaixo.