8. Diferentes graus de grandezas
Em diferentes processos do cálculo, teremos que lidar com quantidades pequenas de diversos graus de pequenez. Teremos também que aprender em quais circunstâncias podemos considerar quantidades pequenas como tão diminutas que podemos omiti-las da consideração. Tudo depende da pequenez relativa.
Vamos analisar o conteúdo veiculado pela BBC Brasil em 9 de agosto de 2023, que explorava aspectos relacionados à Homeopatia. Para ilustrar, consideremos um exemplo concreto: uma das formulações mais comuns na homeopatia adota a proporção 1:100. Isso implica que uma porção da substância ativa é diluída em 99 partes do solvente (que pode ser água, álcool ou mesmo açúcar). Após essa etapa, a mistura é submetida a agitação. Esse processo de diluição pode prosseguir, visto que essas "dinamizações" (termo técnico utilizado na terminologia homeopática, abrangendo diluição e agitação) são repetidas diversas vezes. Consequentemente, a primeira diluição — composta por 1 parte da substância ativa + 99 partes do solvente — é novamente diluída (resultando na formulação 1 + 99 partes de água/álcool). E essa sequência se repete, ininterruptamente...
Em determinadas circunstâncias, essas etapas de dinamização se sucedem por 12, 30, 200 e até mesmo mil vezes.
Vejamos mais um exemplo prático, extraído de um artigo científico publicado por Ernst e pelo filósofo e economista Nikil Mukerji, da Universidade de Munique, na Alemanha.
"No contexto do tratamento de alergias causadas por pólen, um médico homeopata pode optar por utilizar Allium cepa, uma preparação à base de cebola, já que essa planta é capaz de desencadear sintomas semelhantes aos da alergia (como lacrimejamento dos olhos, coriza, etc.) em um indivíduo saudável", observa o texto.
"Contudo, o remédio homeopático Allium cepa 30C [onde o processo de diluição é repetido 30 vezes consecutivas] não contém absolutamente nenhuma molécula de cebola", afirmam os autores.
Isso ocorre devido a uma operação matemática elementar, na qual a diluição 30C na proporção 1:100 resulta em uma relação de uma parte da substância ativa para cada 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (um nonidecilhão) partes do solvente.
Essa proporção ultrapassa, significativamente, a constante de Avogadro (aproximadamente 6,023×10²³). Esse princípio da Matemática e da Química postula que qualquer substância diluída acima dessa proporção (6,023×10²³) essencialmente se converte em água (ou no principal solvente empregado).
Agora, no cálculo, escrevemos \(dx\) para um pequeno pedaço de \(x.\) Essas coisas, como \(dx, du\) e \(dy,\) são chamadas de "diferenciais", o diferencial de \(x,\) ou de \(u,\) ou de \(y,\) conforme o caso. [Você lê como dê-xis, dê-u ou dê-ipsilon.] Se \(dx\) for um pequeno pedaço de \(x\) e relativamente pequeno em si mesmo, isso não implica que quantidades como \(xdx\) ou \(x^2 dx\) sejam negligenciáveis. No entanto, \(dx\cdot dx\) seria negligenciável, sendo uma quantidade pequena de segunda ordem.
Geometricamente, isso pode ser representado da seguinte forma: considere um quadrado, cujo lado tomaremos para representar \(x.\) Agora, suponha que o quadrado cresça ao ter um pedacinho dx adicionado ao seu tamanho em cada direção. O quadrado ampliado é composto pelo quadrado original de área \(x^2,\) os dois retângulos na parte superior e à direita, cada um dos quais tem área \(x\cdot dx\) (ou juntos \(2x\cdot dx)\), e o pequeno quadrado no canto superior direito, que tem área \( (dx)^2.\) Claramente, \( (dx)^2\) é negligenciável, desde que consideremos que o incremento dx seja suficientemente pequeno em si mesmo. Portanto, a variação é essencialmente \(2x.\)
Ao longo de todo o cálculo, lidamos com quantidades que estão em crescimento e com taxas de crescimento. Classificamos todas as quantidades em duas categorias: constantes e variáveis.
Além disso, geralmente estamos lidando com mais de uma variável ao mesmo tempo, e pensando na maneira como uma variável depende da outra: por exemplo, consideramos a forma como a altura alcançada por um projétil depende do tempo em que essa altura é atingida. Ou somos consideramos um retângulo de área dada e indagar como qualquer aumento no seu comprimento forçará uma diminuição correspondente na largura. Ou pensamos na forma como qualquer variação na inclinação de uma escada causará uma variação na altura que ela alcança.
Vamos considerar dois exemplos.
(1) Sejam \(x\) e \(y,\) respectivamente, a base e a altura de um triângulo retângulo, no qual a inclinação do outro lado é fixada em 30 graus.
Se supormos que esse triângulo se expande e ainda mantém seus ângulos iguais aos do início, então, quando a base cresce e se torna \(x+dx,\) a altura se torna \(y+dy.\) Aqui, aumentar \(x\) resulta em um aumento de \(y.\) O pequeno triângulo, com altura \(dy\) e base \(dx,\) é semelhante ao triângulo original; e é óbvio que o valor da razão \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) é o mesmo que a razão \(\displaystyle \frac{y}{x.}\) Como o ângulo é 30 graus, será visto que aqui temos
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
(2) Seja \(x\) representar a distância horizontal, a partir de uma parede, da extremidade inferior de uma escada, AB, de comprimento fixo, como demonstrado na ilustração abaixo; e seja \(y\) a altura que ela atinge na parede.
Agora, está claro que \(y\) depende de \(x.\) É fácil perceber que, se afastarmos um pouco mais a extremidade inferior \(A\) da parede, a extremidade superior \(B\) descerá um pouco. Vamos expressar isso em linguagem científica. Se aumentarmos \(x\) para \(x+dx,\) então \(y\) se tornará \(y−dy;\) ou seja, quando \(x\) recebe um incremento positivo, o incremento resultante em \(y\) é negativo.
Sim, mas quanto? Suponha que a escada fosse tão longa que, quando a extremidade inferior \(A\) está a 28 dm da parede, a extremidade superior \(B\) alcançava exatamente 45 dm do chão. Agora, se você puxasse a extremidade inferior mais 1 dm para fora, quanto a extremidade superior desceria? Vamos colocar tudo em decímetros: \(x = 28\) dm, \(y = 45\) dm. Agora, o incremento de \(x,\) que chamamos de \( dx,\) é 1 dm: ou seja, \(x+dx = 29\) dm.
Quanto \(y\) será diminuído? A nova altura será \(y−dy.\) Se calcularmos a altura, seremos capazes de descobrir quanto será \(dy.\) O comprimento da escada é \(\displaystyle \sqrt{28^2+45^2}=53\) dm. Claramente, então, a nova altura, que é será tal que
\(\displaystyle (y-dy)^2=53^2-29^2=1968\Rightarrow y-dy=\sqrt{1968}\approx 44,36\)
Agora, \(y\) é 45, então \(dy\) é igual a \(45-44,36=0,64\) dm.
Portanto, vemos que fazer \(dx\) um aumento de 1 dm resultou em fazer \(dy\) uma diminuição de 0,64 dm. E a razão de \( dy\) para \(dx\) pode ser declarada da seguinte forma: \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{0,64}{1}.\)
gora, ao longo do cálculo diferencial, estamos buscando por algo curioso, uma mera razão, ou seja, a proporção que \( dy\) tem em relação a \( dx\) quando ambos são indefinidamente pequenos.
Na álgebra que você aprendeu na escola, você estava sempre buscando por alguma quantidade desconhecida que chamava de \(x\) ou \(y;\) ou às vezes havia duas quantidades desconhecidas a serem buscadas simultaneamente. Agora, você precisa aprender a caçar de uma nova maneira; o alvo não sendo mais nem \(x\) nem \(y.\) Em vez disso, você tem que caçar esse curioso filhote chamado \(\displaystyle \frac{dy}{dx}.\) O processo de encontrar o valor de \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) é chamado de "diferenciação". Mas lembre-se, o que se deseja é o valor dessa razão quando tanto \(dy\) quanto \(dx\) são eles próprios indefinidamente pequenos. O verdadeiro valor do coeficiente diferencial é aquele para o qual ele se aproxima no caso limite, quando ambos são considerados infinitamente pequenos. Vamos agora aprender como sair em busca de \(\displaystyle \frac{dy}{dx}.\)