Suponha que haja uma quantidade que está crescendo de tal forma que o aumento do seu crescimento, durante um determinado período de tempo, seja sempre proporcional à sua própria magnitude. Isso se assemelha ao processo de cálculo de juros sobre dinheiro a uma taxa fixa; quanto maior o capital, maior a quantia de juros sobre ele em um determinado período de tempo.

Aqui, nos referimos aos "juros compostos", em que os juros são adicionados ao capital, que, portanto, aumenta por adições sucessivas. Lembre-se de que, no caso dos juros simples, o capital permanece fixo. Por exemplo, suponha que o capital inicial seja de R$100 e a taxa de juros seja de 10 por cento ao ano. Nesse caso, o aumento para o proprietário do capital será de R$10 a cada ano. Vamos considerar que ele continue a receber seus juros todos os anos e guarde-os colocando-os embaixo do colchão ou trancando-os em seu cofre. Então, se ele continuar assim por 10 anos, ao final desse período, ele terá recebido 10 incrementos de R$10 cada, totalizando R$100 em juros, somando-se aos R$100 originais, resultando em um total de R$200 no final.

Agora, vamos considerar o caso de juros compostos. Como antes, suponha que o proprietário comece com um capital de R$100, ganhando juros à taxa de 10 por cento ao ano; no entanto, em vez de guardar os juros, deixe que eles sejam adicionados ao capital a cada ano, fazendo com que o capital cresça ano a ano. Então, ao final de um ano, o capital terá crescido para R$110; e no segundo ano (ainda a 10%), isso renderá R$11 de juros. Ele começará o terceiro ano com R$121, e os juros sobre isso serão R$12,1; de modo que ele começa o quarto ano com R$133,1, e assim por diante. É fácil calcular e descobrir que ao final dos dez anos, o capital total terá crescido para aproximadamente R$259,374. Na verdade, podemos ver que ao final de cada ano, cada real terá rendido 1/10 de real e, portanto, se isso for sempre adicionado, cada ano multiplicará o capital por 11/10; e se continuar por dez anos (o que multiplicará esse fator dez vezes), multiplicará o capital original por 2,59374.

Vamos considerar mais um exemplo. Suponha que você possui uma quantia \(y_0\) aplicada na caderneta de poupanca de um certo banco, que paga pela aplicação dessa quantia uma taxa de rendimentos de100% ao ano. Ainda mais, você decide a frequência em que a capitalização de sua aplicação ocorre.

Se você optar pela capitalização anual (uma vez ao ano), a cada ano o banco paga a você o saldo integral (100% = 1) existente na capitalização anterior. Assim, após um ano você terá \(y_0+y_0=2y_0.\)

Se você quiser escolher a capitalização mensal (doze vezes ao ano), a cada mês o banco paga \(\displaystyle\frac{100\%}{12}=\frac{1}{12}.\) Logo, passado o primeiro mês, você terá \(\displaystyle y_0\left(1+\frac{1}{12}\right).\) Após um ano (doze meses), você terá \(\displaystyle y_0\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12},\) ou seja, \(2,613y_0.\)

Se você quiser escolher a capitalização diária (365 vezes ao ano), a cada dia o banco paga \(\displaystyle\frac{100\%}{365}=\frac{1}{365}.\) Logo, passado o primeiro dia, você terá \(\displaystyle y_0\left(1+\frac{1}{365}\right).\) Após um ano (365 dias), você terá \(\displaystyle y_0\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365},\) ou seja, \(2,715y_0.\)

Vamos colocar isso em símbolos. Coloque \(y_0\) para o capital inicial; \(1/n\) para a fração adicionada em cada uma das \(n\) operações, relacionada com a frequência com que a aplicação é capitalizada; e \(y_n\) para o valor do capital ao final da n-ésima operação. Então,

\(\displaystyle y_{n}=y_0\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.\)

Vemos que o que queremos então encontrar é o limite da expressão \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\) quando \(n\rightarrow\infty.\) É possível ver que esse valor é maior que 2; e que, à medida que tomamos \(n\) cada vez maior, se aproxima cada vez mais de um valor limite específico. Não importa o quão grande você torne \(n,\) o valor dessa expressão se aproxima mais e mais do número 2.71828... Clique AQUI para ver uma demonstração deste resultado.

Na animação abaixo, temos a ilustração correspondente da progressão geométrica. Cada uma das ordenadas sucessivas é \(\displaystyle\left(1 + \frac{1}{n}\right),\) ou seja, \(\displaystyle \frac{n + 1}{n}\) vezes mais alta do que sua antecessora. Os degraus não são iguais, porque cada degrau é agora \(\displaystyle\frac{1}{n}\) da ordenada nessa parte da curva. Se tivéssemos literalmente 10 degraus, com \(\displaystyle \left(1 + \frac{1}{10}\right)\) como fator de multiplicação, o total final seria \(\displaystyle\left(1 + \frac{1}{10}\right)^{10}\) ou 2,594 vezes o valor original de 1. Mas se tomarmos \(n\) suficientemente grande (e o correspondente \(1/n\) suficientemente pequeno), então o valor final \(\displaystyle \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) para o qual a unidade crescerá será 2,71828, ou mais precisamente, \(e\) "o número de Euler".

Para cada \(n=0,...,k-1\), as alturas dos triângulos dados acima são dadas por

\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{k}\right)^{n+1}-\left(1+\frac{1}{k}\right)^{n}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{k}-1\right)=\frac{1}{k}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{n}.\)

Já a base de cada triângulo mede \(\displaystyle \frac{1}{k}.\) Logo a inclinação do segmento dado pela hipotenusa de cada triângulo retângulo dado na animação é \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{k}\right)^{n},\) \(n=0,1,..,k-1.\)

Como \(\displaystyle \lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}=e,\) temos que a derivada de \(f(x)=e^x\) é

\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim_{h\to0}e^x\left(\frac{e^h-1}{h}\right)=e^x f'(0).\)

Note que pelo que verificamos acima, a derivada de \(f(x)=e^x\) é dada pelo limite quando \(k\) tende a infinito da expressão \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{k}\right)^{0}=1,\) logo \(f'(0)=1.\) Portanto

\(\displaystyle (e^x)'=e^x.\)

Última atualização: quinta-feira, 28 set. 2023, 22:14