15. Funções Logarítmicas
Você provavelmente já teve a oportunidade de trabalhar com logaritmos na base \(10\) na escola. A definição geralmente dada na álgebra elementar é a seguinte: Se \(x > 0,\) o logaritmo de \(x\) na base \(10,\) denotado por \( \log x,\) é o número real \(y\) tal que \(10^y = x.\) Se \(x = 10^n\) e \(t = 10^m,\) a lei dos expoentes nos dá \(x\cdot t = 10^{n + m}\), em termos de logaritmos, isso se torna:
\(\displaystyle \log (x\cdot t)=\log x+\log t.\)
Essa é a propriedade fundamental que torna os logaritmos particularmente adaptáveis a cálculos envolvendo multiplicação. Mais geralmente, se \(b\) é um número positivo diferente de \(1\) e \(x=b^y\), então \(y\) é o logarítmo na base \(b\) de \(x\), isto é, \(\displaystyle y=\log_{b}(x).\)
Na animação abaixo, mova o PONTO GRANDE no eixo-X o mais longe que puder. Você pode arrastar o PONTO GRANDE que aparece atrás dele para onde desejar.
Além da propriedade de que o logarítmo transforma um produto numa soma, o fato de que o logarítmo é o processo inverso da exponencial implica outras propriedades.
Por exemplo, se \(x=b^n\), então \(x^m=(b^n)^m=b^{n\cdot m},\) logo
\(\displaystyle \log_{b}x^m=m\cdot n=m\cdot\log_{b}x.\)
Outra propriedade segue de que se \(x = b^n\) e \(t = b^m,\) \(\displaystyle \frac{x}{t}=\frac{b^n}{b^m}=b^{n-m},\) ou seja,
\(\displaystyle \log_{b}\left(\frac{x}{t}\right)=n-m=\log_{b}x-\log_{b}t.\)
Finalmente, se \(x=b^{n}=a^{m},\) em que \(a\) e \(b\) são números positivos diferentes de \(1,\)
\(\displaystyle \log_{b}x=\log_{b}a^{m}=m\cdot \log_{b}a=(\log_{a}x)(\log_{b}a).\)
No caso da base ser o número de Euler, \(e\), escrevemos \(\log_{e}=\ln\) e chamos este logarítmo de logarítmo natural.
Vimos que a derivada de \(\displaystyle f(y)=e^y\) é \(\displaystyle f'(y)=e^y.\)
Agora, se \(\displaystyle g(x)=y=\ln(x),\) ou seja, \(\displaystyle x=e^y=f(y),\) temos que
\(\displaystyle f(g(x))=x\)
Usando a regra da cadeia, obtemos
\(\displaystyle 1=(x)'=\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))\cdot g'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x)=x\cdot g'(x)\)
\(\displaystyle \Rightarrow g'(x)=(\ln x)'=\frac{1}{x}.\)