16. Taxas de Variação e Taxas Relacionadas
Existem alguns problemas em que o cálculo é bastante útil nas resoluções. Eles são aplicações da regra da cadeia. O problema é calcular \(\displaystyle \frac{df}{dt},\) mas a coisa estranha é que nos é fornecida outra derivada \(\displaystyle \frac{dg}{dt}.\) Para encontrar \(\displaystyle \frac{df}{dt},\) precisamos de uma relação entre \(f\) e \(g\), ou seja, se \(y=g(t)\), precisamos encontrar uma regra que relacione \(f\) como uma função de \(y=g(t).\)
Se \(f(y)=f(g(t)),\) a regra da cadeia diz que
\(\displaystyle \frac{df}{dt} = \left(\frac{df}{dy}\right)\left(\frac{dy}{dt}\right).\)
A partir da taxa de variação de \(g,\) encontramos a taxa de variação de \(f.\) Este é o problema de taxas relacionadas, e exemplos irão esclarecer o ponto.
Exemplo 1: O raio de um círculo está aumentando a uma taxa de \(\displaystyle \frac{dr}{dt} = 7.\) A que velocidade a circunferência está crescendo? Lembre-se de que \(C = 2\pi r\) (isso relaciona \(C\) com \(r\)).
\(\displaystyle \frac{dC}{dt} = \left(\frac{dC}{dr}\right)\left(\frac{dr}{dt}\right)=(2\pi)(7)=14\pi.\)
Isso é bastante básico, mas suas implicações são incríveis. Se duas faixas em uma pista circular estão separadas por 2 metros, qual vantagem inicial o corredor externo deve receber? Apenas \(4\pi\) metros.
Exemplo 2: Uma pessoa com 2 metros de altura caminha diretamente afastando-se de um poste de luz que está a 8 metros do chão. Se a sombra da pessoa está se alongando a uma taxa de 4/9 metros por segundo, a que taxa, em metros por segundo, a pessoa está caminhando?
Veja a animação abaixo.
Você deve relacionar o comprimento da sombra \(s\) com a distância \(x\) do poste de luz. O problema fornece \(\displaystyle \frac{ds}{dt} = \frac{4}{9}\) e pergunta por \(\displaystyle \frac{dx}{dt}.\) Veja que por semelhança de triângulos \(\displaystyle \frac{x}{H-h}=\frac{s}{h},\) em que \(H\) é a altura do poste e \(h\) é a altura da pessoa. Aqui \(H=8\) e \(h=2,\) logo
\(\displaystyle \frac{x}{6}=\frac{s}{2}\Rightarrow \frac{dx}{dt}=\frac{6}{s}\left(\frac{ds}{dt}\right)=3\cdot\frac{4}{9}=\frac{4}{3}.\)
Exemplo 3: Um observador no ponto A está observando o balão B enquanto ele sobe do ponto C. Verifique a animação abaixo. O balão está subindo a uma taxa constante de 3 metros por segundo (isso significa que \(\displaystyle \frac{dy}{dt} = 3\)) e o observador está a 100 metros do ponto C.
Vamos encontrar a taxa de variação em \(z\), que é a distância do observador para o balão, no instante em que \(y = 50,\) ou seja, \(\displaystyle \frac{dz}{dt}\) se \(y=50\). Temos
\(\displaystyle z^2=y^2+x^2\Rightarrow 2z\left(\frac{dz}{dt}\right)=2y\left(\frac{dy}{dt}\right)+2x\left(\frac{dx}{dt}\right).\)
Aqui \(x=100\) está fixo, ou seja, \(\displaystyle \frac{dx}{dt}=0.\) Além disso, se \(y=50\) e \(x=100\), então \(\displaystyle z=\sqrt{50^2+100^2}=50\sqrt{5}.\) Portanto, como \(\displaystyle \frac{dy}{dt}=3\) quando \(y=50\), temos
\(\displaystyle 2(50\sqrt{5})\left(\frac{dz}{dt}\right)=2(50)\left(\frac{dy}{dt}\right)\Rightarrow \frac{dz}{dt}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.\)
Também podemos encontrar a taxa de variação de \(\theta\) em relação a \(t\) quando \(y = 50.\) Basta ver que
\(\displaystyle \cos(\theta)=\frac{x}{z} \text{ ou também } \tan(\theta)=\frac{y}{x}=\frac{y}{100}.\)
Logo
\(\displaystyle (-\text{sen}(\theta))\frac{d\theta}{dt}=\frac{z\frac{dx}{dt}-x\frac{dz}{dt}}{z^2}\text{ ou } (\sec^2(\theta))\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{100}\frac{dy}{dt}.\)
Como \(\displaystyle \sec^2(\theta)=\frac{1}{\cos^2(\theta)}=\frac{z^2}{x^2},\) temos
\(\displaystyle \left(\frac{z^2}{x^2}\right)\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{100}\frac{dy}{dt}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{d\theta}{dt}=\left(\frac{x^2}{z^2}\right)\left(\frac{1}{100}\right)\left(\frac{dy}{dt}\right)=\frac{100^2}{50^2+100^2}\cdot\frac{1}{100}\cdot 3=\frac{300}{50^2+100^2}=\frac{300}{12500}=\frac{3}{125}.\)
Exemplo 4: Suponha que um gás seja bombeado para um balão esférico a uma taxa constante de 50 centímetros cúbicos por segundo. Assumindo que a pressão do gás permaneça constante e que o balão sempre mantenha uma forma esférica, qual é a taxa de crescimento do raio do balão quando o raio está em 5 centímetros?
Seja \(r\) o raio e \(V\) o volume do balão no tempo \(t.\) Temos a derivada \(\displaystyle \frac{dV}{dt},\) que representa a taxa de variação do volume com relação ao tempo, e queremos determinar \(\displaystyle \frac{dr}{dt},\) que representa a taxa de variação do raio com relação ao tempo, no instante em que \(r = 5.\) A regra da cadeia fornece a conexão entre os dados fornecidos e o desconhecido. Ela afirma que:
\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}.\)
Para calcular \(\displaystyle \frac{dV}{dr},\) usamos a fórmula \(\displaystyle V=\frac{4\pi r^3}{3},\) que expressa o volume da esfera em termos de seu raio. Ao diferenciar a fórmula do volume com relação a \(r,\) obtemos \(\displaystyle \frac{dV}{dr}=4\pi r^2,\) e, portanto, a equação acima se torna:
\(\displaystyle \frac{dV}{dt}=(4\pi r^2)\frac{dr}{dt}.\)
Substituindo \(\displaystyle \frac{dV}{dt}= 50\) e \(r = 5,\) obtemos \(\displaystyle \frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\pi}.\) Isso significa que o raio está aumentando a uma taxa de \(\displaystyle \frac{1}{2\pi}\) centímetros por segundo no instante em que \(r = 5.\) Observe que não foi necessário expressar \(r\) como uma função de \(t\) para determinar a derivada \(\displaystyle \frac{dr}{dt}.\) É esse fato que torna a regra da cadeia especialmente útil em problemas de taxa relacionada.