19. O Teorema do Valor Médio
O teorema do valor médio para derivadas ocupa uma posição de importância no cálculo porque muitas propriedades de funções podem ser facilmente deduzidas a partir dele. Antes de enunciarmos o teorema do valor médio, examinaremos um de seus casos especiais, a partir do qual o teorema mais geral será deduzido. Esse caso especial foi descoberto em 1690 por Michel Rolle (1652-1719), um matemático francês.
Consideramos uma função \(f\) que satisfaz a condição \(f(a) = f(b)\) para dois números \(a < b.\) Assumimos que \(f\) é contínua em \(x\) para todos os \(a\leq x \leq b\), e também queremos assumir que \(f\) é diferenciável em \(x\) para \(a < x < b\) (não nos importamos muito se ela é diferenciável em \(a\) ou \(b\)).
Sabemos que \(f\) tem um valor máximo e um valor mínimo no intervalo \([a,b].\) Como \(f(a) = f(b),\) \(f(a)\) e \(f(b)\) não podem ser ambos valores máximos e mínimos, a menos que \(f\) seja constante, o que implicaria que \(f'(x) = 0\) para todo \(a < x < b.\) Portanto, \(f\) deve ter ou um ponto máximo \(x\) em \((a,b)\) ou um ponto mínimo em \((a,b).\) Sabemos que \(f'(x) = 0\) se \(x\) é um ponto mínimo ou máximo em \((a,b).\) Esse resultado é chamado de Teorema de Rolle.
Teorema de Rolle. Seja \(f\) uma função contínua no intervalo fechado \([a, b]\) e tem uma derivada em cada ponto do intervalo aberto \((a, b).\) Além disso, assuma que \(f(a) = f(b).\) Então, existe pelo menos um ponto \(c\) no intervalo aberto \((a, b)\) tal que \(f'(c) = 0.\) Veja a animação abaixo.
Podemos usar o teorema de Rolle para provar o teorema do valor médio. Antes de ver o teorema do valor médio, pode ser útil examinar o seu significado geométrico. Confira a animação abaixo.
A curva mostrada acima é o gráfico de uma função contínua \(f\). Há um ponto \((c, f(c))\) em que a reta tangente é paralela à reta que passa pelos pontos \( (a,f(a))\) e \( (b,f(b)).\) O teorema do valor médio garante que haverá pelo menos um ponto com essa propriedade.
Para traduzir essa propriedade geométrica em uma afirmação analítica, basta observar que a paralelismo de duas retas significa igualdade de suas inclinações. Uma vez que a inclinação da reta que passa por \((a, f(a))\) e \((b, f(b))\) é o quociente \(\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) e, uma vez que a inclinação da reta tangente em \(c\) é a derivada \(f'(c),\) a afirmação acima diz que
\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c),\quad \text{para algum }c\in(a,b).\)
Para fornecer uma evidência intuitiva para a veracidade desse resultado, podemos pensar em \(f(t)\) como a distância percorrida por uma partícula em movimento no momento \(t.\) Em seguida, o quociente à esquerda da igualdade acima representa a velocidade média no intervalo de tempo \([a, b],\) e a derivada \(f'(t)\) representa a velocidade instantânea no momento \(t.\) A equação afirma que deve haver um momento em que a velocidade instantânea é igual à velocidade média. Por exemplo, se a velocidade média durante uma viagem de automóvel for de 85 km/h, o velocímetro deve registrar 85 km/h pelo menos uma vez durante a viagem.
O teorema do valor médio pode ser formulado da seguinte forma:
Teorema do Valor Médio. Se \(f\) for contínua em \(x\) para \(a \leq x \leq b\) e diferenciável em \(x\) para \(a < x < b,\) então existe algum \(c\) com \(a < c < b\) para o qual temos:
\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\)
Para demonstrar este resultado, basta aplicar o Teorema de Rolle, usando a função
\(\displaystyle h(x)=f(x)(b-a)-(f(b)-f(a))x\Rightarrow h(a)=h(b)\text{ e } h'(x)=f'(x)(b-a)-(f(b)-f(a)).\)
Observe que o teorema não faz afirmações sobre a localização exata do(s) um ou mais "valores médios" \(c,\) exceto por dizer que todos eles estão situados em algum lugar entre \(a\) e \(b.\) Para algumas funções, a posição dos valores médios pode ser especificada exatamente, mas na maioria dos casos é muito difícil fazer uma determinação precisa desses pontos. No entanto, a verdadeira utilidade do teorema reside no fato de que muitas conclusões podem ser tiradas do mero conhecimento da existência de pelo menos um valor médio.
Como uma das muitas aplicações do teorema do valor médio, podemos provar que se a derivada de \(f(x)\) tem um sinal constante, então \(f\) é monótona. Mais precisamente, assumimos que \(f(x)\) é contínua no intervalo fechado \([a, b]\) e diferenciável em cada ponto do intervalo aberto \((a, b).\) Se \(f'(x) > 0\) para \(x\) em \((a, b),\) então a função \(f(x)\) é monotonamente crescente; da mesma forma, se \(f'(x) < 0,\) a função é monotonamente decrescente. A prova é simples: sejam \(x_1\) e \(x_2\) quaisquer dois valores no intervalo fechado \([a, b].\) Então existe um \(c\) entre \(x_1\) e \(x_2\) e, portanto, também entre \(a\) e \(b,\) tal que
\( f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1).\)
Se \(f'(x) > 0\) em \((a, b),\) temos, em particular, \(f'(c) > 0.\) Portanto, \(f(x_2) - f(x_1)\) é positivo para \(x_2 > x_1;\) ou seja, \(f(x)\) é crescente. Da mesma forma, \(f\) é decrescente se \(f'(x) < 0\) em \((a, b).\)