20. A Segunda Derivada
Se \(f'(x)\) é positivo, \(f(x)\) cresce, já se \(f'(x)\) é negativo, \(f(x)\) decresce. Nós já vimos isso antes, mas o que a segunda derivada nos informa? Olhando para o gráfico de \(f\), será que conseguimos determinar o sinal de \(f''(x)\)? A resposta é sim e a chave está na concavidade.
Vejamos alguns exemplos, use uma plataforma de calculadora gráfica como o GeoGebra ou o Desmos para esboçar o gráfico das funções \(f(x)=x^2\) e \(g(x)=\ln x.\) Veja a imagem abaixo.
Note que se \(f(x)=x^2,\) então \(f'(x)=2x\) e \(f''(x)=(2x)'=2>0.\) A concavidade do gráfico de \(f\) está para cima.
Agora com \(g(x)=\ln x\), temos \(\displaystyle g'(x)=\frac{1}{x}\) e
\(\displaystyle g''(x)=(\ln x)''=\left(\frac{1}{x}\right)'=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}< 0.\)
Note que a concavidade do gráfico de \(g\) está voltada para baixo.
A segunda derivada nos informa sobre a mudança na inclinação do gráfico. Uma função com \(f''(x)> 0\) é côncava para cima. Ela se curva para cima à medida que a inclinação cresce. Também é chamada de convexa. Uma função com inclinação decrescente, \(f''(x)< 0,\) é côncava para baixo.
Outra maneira de interpretar o sinal de \(f''\) é observar as retas tangentes. Quando o gráfico tem concavidade para cima, a tangente permanece abaixo dele. Quando o gráfico se curva para baixo \( (f" < 0)\), acontece o oposto, as retas tangentes estão acima da curva. Veja a animação abaixo.
Agora, qual a relação do sinal da segunda derivada com os pontos de máximo e mínimo locais?
Vimos que se um ponto \(x_0\) é ponto de máximo ou mínimo local, então é um ponto crítico, \(f'(x_0)=0.\) Vimos que se o sinal de \(f'\) é positivo em algum intervalo \( (x_0-\delta,x_0)\) e \(f'<0\) num intervalo \( (x_0,x_0+\delta),\) \(\delta>0\), então \(f\) cresce antes de \(x_0\) e decresce depois, logo \(x_0\) é um ponto de máximo local. Similarmente, se o sinal de \(f'\) muda de negativo para positivo, então \(x_0\) seria um ponto de mínimo local. Portanto, podemos concluir que se a derivada \(f'\) decresce numa vizinhança de \(x_0,\) \(f''(x_0)<0,\) então \(x_0\) é ponto de máximo local. Agora se \(f'\) cresce numa vizinhança de \(x_0,\) \(f''(x_0)>0,\) então \(x_0\) é ponto de mínimo local.
De fato, esse é o Teste da Segunda Derivada.
Teste da Segunda Derivada. Se \(c\in (a,b)\) é ponto crítico de \(f\), \(f'(c)=0,\) a segunda derivada de \(f\) existe em todo os pontos de \( (a,b) \), temos
(a) Se \(f''<0\) em \( (a,b) \), então \(c\) é ponto de máximo local de \(f\);
(b) Se \(f''>0\) em \( (a,b) \), então \(c\) é ponto de mínimo local de \(f\);
Basta ver que se \(f''<0\) em \( (a,b) \), então \(f'\) é decrescente em \( (a,b). \) Como \(f'(c)=0,\) temos que \(f'>0\) antes de \(c\), \( (a,c),\) e \(f'<0\) depois de \(c,\) \( (c,b).\) Logo \(f\) é crescente antes de \(c,\) em \( (a,c),\) e decrescente depois de \(c,\) em \( (c,b).\) Isso implica que \(c\) é ponto de máximo de \(f.\)
Similarmente, podemos mostrar a implicação do item (b) acima.
Note que se \(f''\) é uma função contínua em \(c,\) então basta assumir que \(f''(c)<0\) para satisfazer a condição (a), ou que \(f''(c)>0\) para satisfazer a condição (b), para alguns valores \(a,b\), pois o sinal de uma função contínua não muda numa vizinhança de um ponto em que ela não se anula.
Um ponto de inflexão é um ponto \(c\) que satisfaz \(f''(c)=0\) e que a concavidade do gráfico de \(f\) muda em \(c.\)
Veja a animação abaixo.