23. O Método de Newton
Vamos ver um exemplo interessante.
Suponha que uma loja esteja vendendo uma moto por R$ 18.000,00. Você pode financiar esta moto, pagando 60 parcelas (cinco anos) iguais a R$ 450,00. A pergunta é qual a taxa de juros mensal deste financiamento.
Aqui, o financiamento é feito usando o sistema PRICE. No sistema PRICE, as parcelas são mantidas constantes. Este sistema é mais comum em financiamentos de veículos e bens duráveis. Muitas vezes, o sistema PRICE é informado pelos vendedores como sendo sem juros, porém os juros totais são calculados e diluídos nas parcelas pagas.
Se chamamos a taxa de juros mensal de \(i\), o valor financiado de \(V\) e o valor da parcela de \(P,\) então
\(\displaystyle P= \frac{i(1+i)^{n}V}{(1+i)^{n}-1}\Rightarrow P\left[(1+i)^{n}-1\right]=i(1+i)^{n}V.\)
Queremos resolver esta equação para \(i,\) assumindo que \(P= 450,\) \(n=60\) e \(V=18000.\) Trocando a letra \(i\) por \(x,\) temos
\(\displaystyle 450\left[(1+x)^{60}-1\right]=18000\cdot x(1+x)^{60}\)
\(\displaystyle (1+x)^{60}-1=\frac{18000}{450}\cdot x(1+x)^{60}=40 x(1+x)^{60}\)
\(\displaystyle 40x(1+x)^{60}-(1+x)^{60}+1=0.\)
Você sabe como resolver equações polinomiais de grau 2, usando uma fórmula conhecida como fórmula de Bhaskara. O problema é que o grau do polinômio em que queremos encontrar as raízes é 60 e não há fórmula para calcular as raízes de polinômios de grau maior ou igual a 5.
Não há uma fórmula para encontrar as raízes com precisão, mas podemos tentar encontrar valores próximos das raízes. Mais especificamente, vamos aproximar valores para as soluções de \(f(x)=0\) usando um método conhecimo como "Método de Newton." Esse método é uma iteração para resolver \(f(x) = 0.\) Veremos com que rapidez o método de Newton funciona (quando funciona). É o melhor algoritmo para resolver equações e é totalmente construído em aproximações tangentes.
Começamos com uma aproximação \(x_1,\) que pode ser obtida de diversas formas como usando de alguma forma o gráfico de \(f\) ou outras informações. No nosso problema, a taxa de juros é um número entre 0 e 1. Podemos tomar inicialmente \(x_1=0,1\) (10%) ou qualquer outro valor razoável entre 0 e 1.
Em seguida, se \(f'(x_1)\neq0,\) então podemos encontrar uma aproximação melhor que \(x_1\) para a raiz, considerando uma aproximação linear para \(f\), usando a reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \(x_1,f(x_1)).\) Esta reta é dada pela equação
\(\displaystyle y-f(x_1)=f'(x_1)(x-x_1).\)
Esta reta possui uma raiz se a sua inclinação, \(f'(x_1),\) não é zero. Neste caso, a raiz é o ponto \(x=x_2\) tal que \(y=0,\) isto é,
\(\displaystyle 0-f(x_1)=f'(x_1)(x_2-x_1)\Rightarrow x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}.\)
Agora, se \(f'(x_2)\neq0,\) podemos repetir esse processo, usando \(x_2\) no lugar de \(x_1.\) Nós encontraremos a aproximação
\(\displaystyle x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}.\)
Continuando esse processo, obteremos uma sequência de pontos \(\displaystyle x_1,x_2,...,x_n,...,\) em que enquanto a derivada calculada nesses pontos não for nula, temos
\(\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.\)
A ideia é mais fácil de ser vista geometricamente. Na animação abaixo, fique à vontade para inserir sua função e sua primeira estimativa \(\displaystyle (x_1)\) de uma raiz da função que você inseriu. Em seguida, clique em cada caixa de seleção sucessiva que aparecer.
No caso do nosso problema, queremos encontrar uma aproximação para uma raiz de
\(\displaystyle f(x)=40x(1+x)^{60}-(1+x)^{60}+1=0.\)
Como \(0<x<1,\) vamos tomar inicialmente \(x_1=0,1.\) Para fazer as sucessivas aproximações, você pode usar uma planilha eletrônica. Antes, veja que a derivada de \(f\) é
\(\displaystyle f'(x)=40(1+x)^{60}+40\cdot 60x(1+x)^{59}-60(1+x)^{59}=40(1+x)^{60}+2400x(1+x)^{59}-60(1+x)^{59}.\)
Numa planilha eletrônica, podemos fazer o seguinte:
- Nas células A1, B1 e C1 escreva \(x,\) \(f(x)\) e \(f'(x),\), respectivamente;
- Na célula A2 escreva a aproximação para \(\displaystyle x_1.\) No nosso caso, tomamos \(x_1=0,1;\)
- Na célula B2 escreva a fórmula para \(\displaystyle f(x_1)\). No nosso caso, vamos escrever na célula B2 =40*A2*(1+A2)^{60}-(1+A2)^{60}+1;
- Na célula C2 escreva a fórmula para \(\displaystyle f'(x_1)\). No nosso caso, vamos escrever na célula C2 =40*(1+A2)^{60}+2400*A2*(1+A2)^{59}-60*(1+A2)^{59};
- Na célula A3 escreva a fórmula para \(\displaystyle x_2,\) que é \(\displaystyle x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}.\) Basta escrever na célula A3 =A2-B2/C2;
- Agora basta selecionar as células B2 e C2 e arrastar para baixo para as célula B3 e C3;
- Selecione a célula A3 e arraste para baixo para a célula A4;
- Selecione as células B3 e C3 e arrastar para baixo para as célula B4 e C4;
- Siga esse processo até chegar num limite na coluna A.
Veja a planilha disponível AQUI para ver como encontramos que uma aproximação para a taxa de juros cobrada pela loja que está vendendo a moto é de 1,44% ao mês.