25. A Integral
Até agora aprendemos duas das noções básicas do cálculo, a derivada e a antiderivada. Este último também chamamos de integral ou primitiva. Deveria ser mais apropriadamente chamada de integral indefinida. A terceira noção básica do cálculo, que investigaremos agora, é chamada de integral definida. Pode parecer à primeira vista que a integral definida nada tem a ver com diferenciação e antidiferenciação. Mas veremos que todos os três estão intimamente envolvidos um com o outro.
Para começar, vejamos um exemplo simples. Suponha que você abra uma empresa de sucesso. A taxa de receita está aumentando. Após \(x\) anos, a receita anual será de \(x^2\) milhões de dólares. Nos primeiros quatro anos você chega a 1, 4, 9 e 16 milhões de dólares. Esses números são exibidos em um gráfico de barras (animação fornecida abaixo).
O gráfico mostra quatro retângulos, de alturas 1, 4, 9 e 16. Como a base de cada retângulo é um ano, esses números também são as áreas dos retângulos. Pode-se fazer uma pergunta simples: Qual é a renda total durante todos os quatro anos?
A resposta é \(1+4+9+16.\) A soma dá 30 milhões de dólares. Este total é alcançado no ano 4. Isto é exatamente como velocidades e distâncias, mas agora \(v\) é a renda por ano e \(s\) é a renda total. A renda total também é a área total dos retângulos. Estamos enfatizando a correspondência entre soma e área.
Aqui está o problema. Os rendimentos declarados são falsos. A empresa não faturou um milhão de dólares no primeiro ano. Após três meses, quando \(x\) era \(\displaystyle \frac{1}{4},\) a taxa de rendimento era apenas \(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}.\) O gráfico de barras mostrava \(\displaystyle 1^2 = 1\) para o ano inteiro, mas isso era um exagero. A renda em três meses não passava de \(\displaystyle \frac{1}{16}\) vezes \(\displaystyle\frac{1}{4},\) taxa multiplicada pelo tempo.
Todos os outros trimestres e anos também foram superestimados. A animação abaixo está mais próxima da realidade, com 4 anos divididos em 16 trimestres. Fornece uma nova estimativa para a receita total.
Somamos \(\displaystyle \frac{1}{16}+\frac{1}{4}+\frac{9}{16}+1+...+16,\) lembrando de multiplicar todos por \(\displaystyle \frac{1}{4}\) (porque cada taxa se aplica a \(\displaystyle \frac{1}{4}\) de ano). Esta também é a área dos \(16\) retângulos. Além disso, cada retângulo tem base \(\displaystyle \frac{1}{4}\), então esse fator entra em cada área. A área total é agora de \(23,375\) milhões de dólares, mais perto da verdade.
Você vê o que está por vir. A próxima etapa divide o tempo em semanas. Após uma semana a taxa é de apenas \(\displaystyle \left(\frac{1}{52}\right)^2.\) Essa é a altura do primeiro retângulo – sua base é \(\displaystyle \Delta x = \frac{1}{52}.\) Existe um retângulo para cada semana. Então pode-se dividir o tempo em dias, e a base de cada retângulo é \( \displaystyle \Delta x = \frac{1}{365}.\) Nesse ponto, existem 4 vezes 365 = 1460 retângulos, ou 1461 por causa do ano bissexto.
O cálculo é elementar, mas deprimente: somar milhares de quadrados, cada um multiplicado pelo \( \Delta x\) da base. Tem que haver uma maneira melhor. A melhor maneira é usar o cálculo integral. A ideia é permitir mudanças contínuas. O problema de geometria é encontrar a área sob o gráfico da função. Essa questão não pode ser respondida pela álgebra, porque envolve um limite.
O conceito intuitivo de área de uma região com limites curvos encontra sua formulação matemática precisa no processo de integração. Muitos outros conceitos relacionados em física e outras áreas também requerem integração, como veremos mais adiante. Introduzimos aqui o conceito de integral, em conexão com o problema de medir a área de uma região plana delimitada por curvas.
Intuitivamente, uma região contida numa curva fechada possui uma “área” que mede o número de unidades quadradas dentro da curva. No entanto, a questão de como esta medida para a área pode ser descrita em termos precisos exige uma cadeia de passos matemáticos. As propriedades básicas da área que a intuição sugere são: a área é um número (positivo) (dependendo da escolha da unidade de comprimento); este número é o mesmo para figuras congruentes; para todos retângulos é o produto dos comprimentos de dois lados adjacentes; e finalmente, para uma região decomposta em partes, a área do todo é igual à soma das áreas das partes.
Estas propriedades permitem o cálculo direto da área de qualquer figura que possa ser decomposta em um número finito de retângulos. De forma mais geral, para atribuir um valor \(A\) à área de uma região R consideramos duas outras regiões, \(R',\) a inscrita e \(R'',\) circunscrita decomponível em retângulos, onde \(R"\) contém \(R\) e \(R'\).
Sabemos então pelo menos que \(A\) tem que estar entre as áreas de \(R'\) e \(R".\) O valor de \(A\) é completamente determinado se encontrarmos sequências de regiões circunscritas \(\displaystyle R_{n}"\) e regiões inscritas \(\displaystyle R_{n}'\) que são ambas decomponíveis em retângulos e tais que as áreas de \(\displaystyle R_{n}"\) e \(\displaystyle R_{n}'\) têm o mesmo limite que \(n\) tende ao infinito. Este é o método de "exaustão", que remonta à antiguidade e é usado na geometria elementar para descrever a área de um círculo. A formulação precisa deste ideia intuitiva agora leva à noção de integração.
O nosso problema é mais específico, queremos calcular a área da região limitada pelo gráfico de uma função \(y=f(x)), o eixo-x e as reta \(x=a\) e \(x=b.\).
Consideremos primeiro a área de uma região limitada à esquerda e à direita pelas linhas verticais \(x = a\) e \(x = b,\) abaixo pelo eixo-x e acima pelo gráfico de uma função contínua positiva \(y=f(x)\) (veja a animação abaixo).
Isto é chamado resumidamente de área “sob a curva”. No momento aceitamos como intuitiva a ideia de que a área de tal região é um número definido. Chamamos esta área \(\displaystyle S_{a}^{b}\) de integral da função \(f\) entre os limites a e b. Na busca do valor numérico de \(\displaystyle S_{a}^{b}\) fazemos uso de aproximações por somas de áreas de retângulos. Para isso dividimos o intervalo \((a, b)\) do eixo-x em \(n\) (pequenas) partes, não necessariamente do mesmo tamanho, que chamaremos de células. Em cada ponto de divisão traçamos a linha perpendicular ao eixo x até a curva. A região com área \(\displaystyle S_{a}^{b}\) é assim dividida em \(n\) faixas, cada uma delimitada por uma porção do gráfico da função f(x) e por três segmentos de reta (veja a animação abaixo).
Calcular com precisão a área dessas faixas não é mais fácil do que calcular a área original. É um avanço, entretanto, aproximar a área de cada faixa pela área de um retângulo com a mesma base, onde o limite curvo da faixa é substituído por uma linha horizontal a uma distância do eixo-x que é o maior (soma superior) ou o menor (soma inferior) valor de \(f(x)\) na célula (verifique a animação abaixo).
Também podemos obter uma aproximação intermediária se substituirmos a faixa por um retângulo de mesma base e limitado pelo valor médio (soma média) de \(f\) na célula.
Analiticamente, isso equivale a substituir a função \(f(x)\) em cada uma das células por algum valor constante intermediário. Denotamos por \(\displaystyle S_{n}\) a soma das \(n\) áreas retangulares. A intuição nos diz que os valores \(\displaystyle S_{n}\) tendem a \(\displaystyle S_{a}^{b}\) se tornarmos a subdivisão cada vez mais precisa, isto é, se deixarmos \(n\) aumentar sem limite enquanto o maior comprimento das células individuais tende a zero. Desta forma \(\displaystyle S_{a}^{b}\) é representado como um limite de áreas constituídas por retângulos.
Começaremos com as somas \(\displaystyle S_{n}\) e provaremos que estas somas tendem a um limite definido. Este limite é então a definição precisa da integral e da área. Assuma que a função \(f(x)\) é contínua (mas não necessariamente positiva) no intervalo fechado \(a\leq x\leq b.\) Dividimos o intervalo por \((n -1)\) pontos \(\displaystyle x_1, x_2,...,x{n-1}\) em \(n\) células iguais ou desiguais com os comprimentos
\(\displaystyle \Delta x_i=x_{i}-x_{i-1}, \quad i=1,2,...,n,\)
onde \(\displaystyle x_{0}=a\) e \(\displaystyle x_{n}=b\). Se tomamos todas as células com base de mesmo tamanho, temos que \(\displaystyle \Delta x_i\) será constante igual a
\(\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}{n}.\)
Em cada subintervalo fechado \(\displaystyle [x_{i-1},x_i]\) ou célula escolhemos qualquer ponto \(\displaystyle x_{i}^{*}\). Formamos a soma